Cours : Probabilités : vocabulaire et outils

On lance un dé à six faces et on note le numéro inscrit sur la face supérieure.
On connaît les six résultats possibles : « 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ou 6 » :

• l’expérience aléatoire consiste à lancer un dé à 6 faces,
• les issues sont ${1};{2};{3};{4};{5}\text{ ou }{6}$,
• l’univers est ${1;2;3;4;5;6}$.

Soit $A$ l’événement : « obtenir un nombre pair ».
Les issues de cet événement sont ${2}\ ;{4}\text{ ou }{6}.$

Soit $B$ un événement élémentaire : « obtenir la face $2$ ».
Cet événement n’a qu’une seule issue possible : ${2}$.

L’événement $C$ : « obtenir un $7$ » est un événement impossible.

L’événement $\bar A$ est : « obtenir un nombre impair » ou « ne pas obtenir un nombre pair ».

En reprenant l’énoncé de l’exemple précedent, on a :

• Probabilité d’obtenir un chiffre pair : $p(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
• Probabilité d’obtenir l’univers : $p(\Omega)=1$
• Probabilité de l’événement impossible : $p(C)=0$
• Probabilité de l’événement contraire de $A$ : $p(\bar A)=1-p(A)=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$

On tire au hasard une carte dans un jeu de $32$ cartes. Soit $R$ l’événement « obtenir un roi », $T$ l’événement « obtenir un ♣ » et $D$ l’événement « obtenir un 10 ».

• L’événement $R$ a $4$ issues : le roi de ♥, le roi de ♠, le roi de ♦ et le roi de ♣.
• Donc $p(R)=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$
• L’événement $T$ a $8$ issues : le nombre de cartes de ♣.
• Donc $p(T)=\dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}$
• L’événement $D$ a $4$ issues : le $10$ de ♥, le $10$ de ♦, le $10$ de ♣ et le $10$ de ♠.
• Donc $p(D)=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$
• L’événement $R \cap T$ a $1$ seule issue possible : le roi de ♣.
• Donc $p(R \cap T)=\dfrac{1}{32}$
• L’événement $R \cup T$ a pour probabilité :

$\begin{aligned}\begin {aligned} p(R \cup T)&=p(R)+p(T)-p(R\cap T)\\ &=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{32}\\ p(R \cup T)&=\dfrac{11}{32} \end{aligned}\end{aligned}$

• Les événements $R$ et $D$ sont incompatibles car il n’existe pas de carte qui soit à la fois un roi et un $10$.
• L’événement $R\cap D$ est un événement impossible.
• Donc $p(R\cap D)=0$ et $p(R \cup D)=p(R)+p(D)-p(R\cap D)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+0=\dfrac{1}{4}$

On considère un établissement scolaire dont la situation des élèves est donnée dans le tableau suivant :

• On nomme les évènements comme suit :
• $F$ : « l’élève est une fille ».
• $G$ : « l’élève est un garçon ».
• $I$ : « l’élève est interne ».
• $D$ : « l’élève est demi-pensionnaire ».
• $E$ : « l’élève est externe ».
• On choisit un élève au hasard :
• Quelle est la probabilité qu’il soit interne ?
• $p(I)=\dfrac{320}{2000}=\dfrac{4}{25}$
• Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
• $p(F)=\dfrac{800}{2000}=\dfrac{2}{5}$ 
• Quelle est la probabilité que ce soit une fille interne ?
• $p(I \cap F)=\dfrac{120}{2000}=\dfrac{3}{50}$

Une urne contient huit boules indiscernables au toucher, cinq blanches et trois noires.
On tire au hasard une boule puis on lance une pièce équilibrée et on note si on obtient pile ou face.

• On note les événements :
• $B$ : « obtenir une boule blanche »
• $N$ : « obtenir une boule noire »
• $P$ : « obtenir pile »
• $F$ : « obtenir face »
• Cet arbre décrit donc la situation :