Cours : Probabilités conditionnelles et indépendance

Rappel

Soit $A$ et $ B$ deux événements de l’ensemble $\Omega$ et $\bar{A}$ l’événement contraire de $A$ :

• $p( \bar{A} )=1-p(A)$
• $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

Conditionnement

Définitions et propriétés

Définition

Probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ :

Soit $A$ et $ B$ deux événements de l’univers $\Omega$, avec $A$ de probabilité non nulle $(p(A)\neq0)$.
La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ (probabilité que l’événement $B$ soit réalisé sachant que l’événement $A$ est réalisé) est le nombre noté $p_A(B)$ défini par :

$p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$

Grâce à cette définition, on peut calculer $p(A\cap B)$ de deux façons différentes :

Propriété

$p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)\ (\text{avec} \ p(A)\neq0)$

$p(A\cap B)=p(B)\times p_B(A)\ (\text {avec} \ p(B)\neq0)$

Exemples :

• Dans une population donnée, $84\ \%$ des personnes possèdent un téléphone portable et $75\ \%$ des personnes possèdent un ordinateur.
  De plus, $60\ \%$ des personnes de cette population déclarent posséder les deux. On rencontre par hasard une personne de cette population.
• On considère les événements :
• $T$ : « La personne possède un téléphone portable ».
• $O$ : « La personne possède un ordinateur ».
• Déterminons la probabilité que la personne rencontrée possède un téléphone portable sachant qu’elle a un ordinateur.

Astuce

La première étape est de traduire les données de l’énoncé en termes de probabilités.

• On a :
• $p(T)=0,84$
• $p(O)=0,75$
• $p(T\cap O)=0,60$
• Et on cherche : $p_O(T)$
• On applique la formule :

$$\begin{aligned} p_O(T)&=\dfrac{p(T\cap O)}{p(O)} \\ &=\dfrac{0,60}{0,75} \\ &=0,8 \end{aligned}$$

• Lors d’une enquête menée auprès d’une population, on a constaté que $85\ \%$ des personnes sont des femmes et que, parmi ces femmes, $62\ \%$ travaillent à temps partiel.
• On considère les événements :
• $F$ : « La personne choisie est une femme ».
• $T$ : « La personne choisie travaille à temps partiel ».
• Déterminons la probabilité que la personne choisie soit une femme travaillant à temps partiel.
• On a :
• $p(F)=0,85$
• $p_F(T)=0,62$
• Et on cherche : $p(F\cap T)$
• On applique la formule :

$$\begin{aligned} p(F\cap T)&=p(F)\times p_F(T) \\ &=0,85\times0,62 \\ &=0,527 \end{aligned}$$

Probabilités conditionnelles et arbre pondéré

On peut représenter une expérience aléatoire mettant en jeu des probabilités conditionnelles à l’aide d’un arbre pondéré.

Pour cela, il est nécessaire de respecter certaines règles :

• Règle n°1 : Sur les branches du 1^er niveau, on inscrit les probabilités des événements correspondants.
• Règle n°2 : Sur les branches du 2^e niveau, on inscrit les probabilités conditionnelles.
• Règle n°3 : Un nœud est le point de départ d’une ou plusieurs branches et la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à $1$.
• Règle n°4 : Un chemin est une suite de branches et la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches composant ce chemin.

Exemple :
Reprenons l’exemple ci-dessus, des femmes travaillant en temps partiel :

• $F$ : « La personne choisie est une femme », avec $p(F)=0,85$.
• $T$ : « La personne choisie travaille à temps partiel », $p_F(T)=0,62$.
• Nous cherchons la probabilité qu’une personne choisie au hasard soit une femme en temps partiel, soit $p(F\cap T)$.
• Utilisons un arbre pondéré :

• Nous ignorons les probabilités pour qu’un homme soit en temps partiel, mais cela ne nous intéresse pas.
• Car nous cherchons uniquement la probabilité que la personne choisie au hasard soit une femme en temps partiel : il n’y a qu’un seul « chemin », le premier, qui mène à $F\cap T$, et nous y avons toutes les probabilités nécessaires.
• Ainsi :

$$\begin{aligned} p(F\cap T)&=p(F)\times p_F(T) \\ &=0,85\times0,62 \\ &=0,527 \end{aligned}$$

Un autre mode de représentation d’une telle expérience est le tableau à double entrée :

Attention

Les probabilités conditionnelles ne peuvent pas se lire directement dans un tableau (contrairement à un arbre). Il faudra passer par le calcul.

Exemple :
On considère un établissement scolaire dont la situation des élèves est donnée dans le tableau suivant :

• On nomme les événements comme suit :
• $F$ : « L’élève est une fille ».
• $G$ : « L’élève est un garçon ».
• $I$ : « L’élève est interne ».
• $D$ : « L’élève est demi-pensionnaire ».
• $E$ : « L’élève est externe ».
• On choisit un élève au hasard.
• Quelle est la probabilité que l’élève soit interne :

$\begin{aligned} p(I)&=\dfrac{320}{2~000} \\ &=\dfrac{4}{25} \end{aligned}$

• Quelle est la probabilité que l’élève soit une fille :

$\begin{aligned} p(F)&=\dfrac{800}{2~000} \\ &=\dfrac{2}{5} \end{aligned}$

• Quelle est la probabilité que l’élève soit une fille interne :

$\begin{aligned} p(I\cap F)&=\dfrac{120}{2\,000} \\ &=\dfrac{3}{50} \end{aligned}$

• Quelle est la probabilité que ce soit une fille sachant que l’élève est interne :

$\begin{aligned} p_I(F)&=\dfrac{p(I\cap F)}{p(I)} \\ &=\dfrac{\big(\frac{120}{2\,000}\big)}{\big(\frac{320}{2~000}\big)} \\ &= \dfrac{120}{320} \\ &=\dfrac{3}{8} \end{aligned}$

Ou bien, parmi les $320$ internes, $120$ sont des filles, donc :

$\begin{aligned} p_I(F)&=\dfrac{120}{320} \\ &=\dfrac{3}{8} \end{aligned}$

• Sachant que c’est une fille, quelle est la probabilité qu’elle soit interne :

$\begin{aligned} p_F(I)&=\dfrac{p(I\cap F)}{p(F)} \\ &=\dfrac{\big(\frac{120}{2\,000}\big)}{\big(\frac{800}{2\,000}\big)} \\ &=\dfrac{120}{800} \\ &=\dfrac{3}{20} \end{aligned}$

Ou bien, parmi les $800$ filles, $120$ sont internes, donc :

$\begin{aligned} p_F(I)&=\dfrac{120}{800} \\ &=\dfrac{3}{20} \end{aligned}$

Formules des probabilités totales

Propriété

Les ensembles $A\cap D$, $B\cap D$ et $C\cap D$ forment une partition de $D$, c’est-à-dire que leur intersection est l’ensemble vide et leur réunion est l’ensemble $D$.

On a alors :
$p(D)=p(A\cap D)+p(B\cap D)+p(C\cap D)$.

Exemple :
Dans un pays, $2\ \%$ de la population est contaminée par un virus.

On dispose d’un test de dépistage qui a les propriétés suivantes :

• La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est $0,99$.
• La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est $0,97$.

On fait passer le test à une personne choisie au hasard dans la population.
Quelle est la probabilité que le test soit positif :

• On nomme les événements comme suit :
• C : « La personne est contaminée ».
• T : « Le test est positif ».
• Commençons par traduire l’énoncé en termes de probabilités :
• $p(C)=0,02$ et $p(\bar{C})=1-p(C)=1-0,02=0,98$
• $p_C (T)=0,99$ et $p_C(\bar{T})=1-0,99=0,01$
• $p_{\bar{C}}(\bar{T})=0,97$ et $p_{\bar{C}}(T)=1-0,97=0,03$

On voit qu’il y a deux « chemins » qui conduisent à $T$, il va donc falloir utiliser la formule des probabilités totales (notons que $C\cap T$ et $\bar{C}\cap T$ forment une partition de $T$) :

$\begin{aligned} p(T)&=p(C \cap T)+p(\bar{C} \cap T) \\ &=p(C)\times p_C(T)+p(\bar{C})\times p_{\bar{C}}(T)\\ &=0,02 \times0,99+0,98\times 0,03 \\ &=0,0492 \end{aligned}$

Indépendance de deux événements

Définition

Événements indépendants :

Deux événements $A$ et $B$ de probabilité non nulle sont dits indépendants si et seulement si l’une des deux égalités suivantes est vérifiée :

$\begin{aligned}p_A(B)&=p(B) \\ \text{\ ou :\ }p_B(A)&=p(A) \end{aligned}$

Propriété

Deux événements $A$ et $B$ de probabilité non nulle sont indépendants si et seulement si :

$p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$

Si deux événements $A$ et $B$ sont indépendants, alors il en est de même :

• pour les événements $\bar{A}$ et $B$,
• pour les événements $A$ et $\bar {B}$,
• pour les événements $\bar{A}$ et $\bar{B}$.