Cours : Puissances et notations scientifiques

Les puissances de $10$

Puissances de $10$ avec exposant positif

Le carré et le cube de $10$ valent :

$$\begin{aligned} 10^{\red 2}&=\underbrace{10\times 10}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red 2$ facteurs égaux à $10$}}}}&=\underbrace{100}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$1$ suivi de $\red 2$ zéros}}}} \\ 10^{\red 3}&=\underbrace{10\times 10\times 10}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red 3$ facteurs égaux à $10$}}}}&=\underbrace{1\,000}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$1$ suivi de $\red 3$ zéros}}}} \end{aligned}$$

Nous pouvons continuer de la même façon, en écrivant :

$$\begin{aligned} 10^{\red 4}&=\underbrace{10\times 10\times 10\times 10}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red 4$ facteurs égaux à $10$}}}}& =\underbrace{10\,000}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$1$ suivi de $\red 4$ zéros}}}} \\ 10^{\red 5}&=\underbrace{10\times 10\times 10\times 10\times 10}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red 5$ facteurs égaux à $10$}}}}& =\underbrace{100\,000}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$1$ suivi de $\red 5$ zéros}}}} \end{aligned}$$

• Nous définissons ainsi les puissances de $10$ d’exposant positif.

Définition

Puissance de $10$ avec exposant positif :

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$.
Le produit de $n$ facteurs égaux à $10$ se note $10^n$ :

$$10^{\red n}=\underbrace{10\times 10\times …\times 10\times 10}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red n$ facteurs égaux à $10$}}}}$$

• $10^n$ se lit : « $10$ exposant $n$ », ou « $10$ (à la) puissance $n$ ».

Astuce

Pour écrire $10^n$ sous forme décimale, on écrit un $1$ suivi de $n$ zéros :

$$\begin{aligned} 10^{\red n} &=\underbrace{100…0} \\ & \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$1$ suivi de $\red n$ zéros}}} \end{aligned}$$

À retenir

Par convention, on a :

• $10^0=1$ (un $1$ suivi de $0$ zéro) ;
• $10^1=10$ (un $1$ suivi de $1$ zéro).

Vous utilisez depuis longtemps, pour exprimer des grandeurs, différents préfixes, qui représentent des puissances de $10$. Par exemple :

• kilogramme pour $10^3=1\,000$ grammes ;
• hectomètre, pour $10^2=100$ mètres.

À retenir

Le tableau suivant donne les préfixes les plus utilisés pour faciliter la lecture de grands nombres :

Préfixe	Symbole	Valeur
péta	$\text{E}$	$\small 10^{15}=1\,000\,000\,000\,000\,000$	un million de milliards
téra	$\text{T}$	$\small 10^{12}=1\,000\,000\,000\,000$	mille milliards
giga	$\text{G}$	$\small 10^9=1\,000\,000\,000$	un milliard
méga	$\text{M}$	$\small 10^6=1\,000\,000$	un million
kilo	$\text{k}$	$\small 10^3=1\,000$	mille
hecto	$\text{h}$	$\small 10^2=100$	cent
déca	$\text{da}$	$\small 10^1=10$	dix
unité	$-$	$\small 10^0=1$	un

Il existe une méthode pour multiplier facilement un nombre décimal par $10=10^{\green 1}$, $100=10^{\purple 2}$ ou $1\,000=10^{\blue 3}$.
Par exemple, pour multiplier un nombre décimal par $100=10^{\purple 2}$, on décale la position de chaque chiffre de $\purple 2$ rangs vers la gauche : le chiffre des unités devient celui des milliers, celui des dixièmes devient celui des centaines, celui des centièmes devient celui des unités.

• Nous allons ici généraliser cette méthode.

À retenir

Pour multiplier un nombre décimal par $10^{\red n}$ (avec $n$ un entier positif), on décale la position de chaque chiffre de $\red n$ rangs vers la gauche.

• On ajoute des zéros si besoin.

Remarque : Cela revient à décaler la virgule de $\red n$ rangs vers la droite.

Exemple

• Le fichier d’une photo de $3,18\ \text{Mo}$ (mégaoctets) pèse :
  $3,18\times 10^6\ \text{o}=3,18\times 1\,000\,000\ \text{o}=3\,180\,000\ \text{o}$ (trois millions cent quatre-vingts mille octets).
• Une vidéo numérisée de $3,6\ \text{Go}$ (gigaoctets), pèse :
  $3,6\times 10^9\ \text{o}=3,6\times 1\,000\,000\,000\ \text{o}=3\,600\,000\,000\ \text{o}$ (trois milliards six cent millions d’octets).
• Un disque dur de $2\ \text{To}$ (téraoctets) a une capacité de :
  $2\times 10^{12}\ \text{o}=2\,000\,000\,000\,000\ \text{o}$ (deux mille milliards d’octets).

Astuce

Connaissez-vous le « gogol » ? Ce nom, selon la légende, aurait été soufflé au mathématicien Edward Kasner par son neveu de 9 ans ; il représente le nombre : $10^{100}$, soit un $1$ suivi de $100$ zéros (on vous laisse l’écrire…) ; autant dire un très grand nombre !
Maintenant, vous savez d’où vient le nom d’un célèbre moteur de recherche, qui s’était fixé comme objectif d’organiser le très grand nombre de données présentes sur le web…

Puissances de $10$ avec exposant négatif

Définition

Puissance de $10$ avec exposant négatif :

Soit $n$ un entier strictement positif.
$10^{-n}$ est l’inverse de $10^n$ :

$$10^{-\red n}=\dfrac 1{10^{\red n}} =\dfrac 1{\underbrace{10\times 10\times …\times 10\times 10}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red n$ facteurs égaux à $10$}}}}}$$

Astuce

Pour écrire $10^{-n}$ sous sa forme décimale, on écrit $n$ zéros suivi d’un $1$, avec une virgule après le premier zéro :

$$\begin{aligned} 10^{-\red n} &=\underbrace{0,0…01} \\ & \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red n$ zéros suivis d’un $1$}}} \end{aligned}$$

À retenir

Là aussi, il est utile de connaître les préfixes les plus utilisés pour faciliter la lecture des petits nombres :

Préfixe	Symbole	Valeur
unité	$-$	$\small 10^0=1$	un
déci	$\text{d}$	$\small 10^{-1}=0,1$	un dixième
centi	$\text{c}$	$\small 10^{-2}=0,01$	un centième
milli	$\text{m}$	$\small 10^{-3}=0,001$	un millième
micro	$\mu$	$\small 10^{-6}=0,000001$	un millionième
nano	$\text{n}$	$\small 10^{-9}=0,000000001$	un milliardième

Comme pour la multiplication, il existe une méthode pour diviser facilement un nombre décimal par une puissance de $10$.

À retenir

Multiplier un nombre décimal par $10^{-\red n}$ (avec $n$ un entier strictement positif) revient à le diviser par $10^{\red n}$.
On décale alors la position de chaque chiffre de $\red n$ rangs vers la droite.

• On ajoute des zéros si besoin.

Remarque : Cela revient à décaler la virgule de $\red n$ rangs vers la gauche.

Exemple

Les microprocesseurs qui équipent nos ordinateurs, tablettes et autres smartphones disposent d’un nombre de plus en plus grand de transistors, de petits composants électroniques dont dépend la vitesse de traitement des données.
En 2021, certains transistors mesuraient $14\ \text{nm}$ (nanomètres), soit, en mètre :

$$\begin{aligned} 14\ \text{nm}&=14\times 10^{-9}\ \text{m} \\ &=\dfrac {14}{10^9} \ \text{m} \\ &=0,000000014\ \text{m} \end{aligned}$$

Et il en existe d’encore plus petits !
Aujourd’hui (en 2022), la taille de ces composants informatiques, présents par millions, voire par milliards, dans un smartphone et indispensables à son fonctionnement, est de l’ordre de $10$ nanomètres, soit $10$ milliardièmes de mètre, ou encore $1$ millionième de centimètre : prenez une règle graduée, regardez précisément ce que la longueur d’un centimètre représente, et essayez d’imaginer ce que donne sa division par un million…

Opérations avec des puissances de $10$

Produit de puissances de $10$

Considérons le produit des nombres $10^5$ et $10^3$ :

$$10^5\times 10^3$$

Nous venons de voir que :

• $\purple{10^5=10\times 10\times 10\times 10\times 10}$ (il y a $5$ facteurs égaux à $10$) ;
• $\pink{10^3=10\times 10\times 10}$ (il y a $3$ facteurs égaux à $10$).

Nous pouvons donc écrire leur produit ainsi :

$$\purple{10^5}\times \pink{10^3}=\underbrace{\purple{10\times 10\times 10\times 10\times 10}}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$5$ facteurs $10$}}}}\times \underbrace{\pink{10\times 10\times 10}}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$3$ facteurs $10$}}}}$$

Il y a donc $5+3=8$ facteurs égaux à $10$ :

$$10^5\times 10^3=\underbrace{10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$8$ facteurs $10$}}}}$$

• Nous obtenons ainsi :

$$\begin{aligned} 10^{\purple 5}\times 10^{\pink 3}&=10^{\purple 5+\pink 3} \\ &=10^8\end{aligned}$$

Nous pouvons généraliser en donnant la propriété ci-dessous (qui n’est pas un attendu du collège).

Propriété

Soit $m$ et $n$ deux entiers relatifs. On a :

$$10^m\times 10^n=10^{m+n}$$

Exemple

$10^{18}\times 10^7=10^{18+7}=10^{25}$

Quotient de puissances de $10$

Nous cherchons cette fois à calculer le quotient de $10^5$ par $10^3$ :

$$\dfrac{\purple{10^5}}{\pink{10^3}}=\dfrac{\overbrace{\purple{10\times 10\times 10\times 10\times 10}}^{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$5$ facteurs $10$}}}}}{\underbrace{\pink{10\times 10\times 10}}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$3$ facteurs $10$}}}}}$$

Il y a $5$ facteurs égaux à $10$ au numérateur et $3$ facteurs égaux à $10$ au dénominateur, nous pouvons donc simplifier en « supprimant » $3$ facteurs égaux à $10$ :

$$\begin{aligned} \dfrac{10^5}{10^3}&=\dfrac {10\times 10\times \textcolor{#A9A9A9}{\cancel{10}}\times \textcolor{#A9A9A9}{\cancel{10}}\times \textcolor{#A9A9A9}{\cancel{10}}}{ \textcolor{#A9A9A9}{\cancel{10}}\times \textcolor{#A9A9A9}{\cancel{10}}\times \textcolor{#A9A9A9}{\cancel{10}}} \\ &=10\times 10 \end{aligned}$$

Il reste ainsi $5-3=2$ facteurs $10$ au numérateur, soit :

$$\dfrac{10^{\purple 5}}{10^{\pink 3}}=10^{\purple 5-\pink 3}=10^2$$

Comme pour le produit, nous avons ainsi une propriété qui nous permet de calculer facilement le quotient de puissances de $10$.

Propriété

Soit $m$ et $n$ deux entiers relatifs. On a :

$$\dfrac{10^m}{10^n}=10^{m-n}$$

Exemple

$\dfrac {10^{18}}{10^7}=10^{18-7}=10^{11}$

Puissance d’une puissance de $10$

Voyons une dernière propriété, qui n’est pas exigible non plus, mais qui peut être utile.
Et intéressons-nous en particulier à :

$$\begin{aligned} {(10^2)}^3&=(10\times 10)^3 \\ &=(10\times 10)\times (10\times 10) \times (10\times 10) \end{aligned}$$

• Nous avons ainsi $2\times 3=6$ facteurs égaux à $10$ :

$${(10^\purple 2)}^\pink 3=10^{\purple 2\times \pink 3}=10^{6}$$

Propriété

Soit $m$ et $n$ deux entiers relatifs.
Pour calculer ${(10^m)}^n$, on peut effectuer le produit des exposants $m$ et $n$ de cette façon :

$${(10^m)}^n=10^{m\times n}$$

Exemple

${(10^{-6})}^3=10^{-6\times 3}=10^{-18}$

Puissances de $10$ et notation scientifique

Écrire un nombre avec sa notation scientifique

Commençons par définir ce qu’est l’écriture (ou notation) scientifique. Nous en verrons ensuite l’utilité.

Définition

Écriture ou notation scientifique :

La notation scientifique d’un nombre positif est son écriture sous la forme $a\times 10^n$, avec :

• $a$ un nombre compris entre $1$ et $10$ ($10$ exclu), soit : $1\leq a < 10$ ;
• et $n$ un entier relatif.

Astuce

Autrement dit, un nombre écrit en notation scientifique doit être sous la forme d’un produit :

• d’un nombre décimal qui possède un, et un seul, chiffre avant la virgule, ce chiffre étant non nul ;
• et d’une puissance de $10$, d’exposant positif ou négatif.

Exemple

Nombres écrits en notation scientifique	Nombres non écrits en notation scientifique
$9,06 \times 10^{15}$	$10 \times 10^6$ Car $10$ n’est pas strictement inférieur à $10$
$3,7 \times 10^{-5}$	$3,00$ Car il n’y a pas de puissance de $10$
$2,00 \times 10^5$	$0,956 \times 10^4$ Car $0,956$ n’est pas supérieur ou égal à $1$
$5\times 10^0$	$15,6 \times 10^{-9}$ Car $15,6$ n’est pas strictement inférieur à $10$

Voyons maintenant comment écrire un nombre avec sa notation scientifique.

À retenir

Méthode : Comment écrire un nombre avec sa notation scientifique

• On recopie les chiffres du nombre, sans virgule.
• On place la virgule après le premier chiffre non nul en partant de la gauche.
• On regarde de combien de rangs on a décalé la virgule ; on note ici ce nombre $r$ (comme rang).
• Si on l’a décalée vers la gauche, on multiplie par $10^r$.
• Si on l’a décalée vers la droite, on multiplie par $10^{-r}$.

Explicitons cette méthode à travers quelques exemples.

Exemple

• On veut écrire $25\,732,6$ avec sa notation scientifique.
• On copie le nombre sans virgule :

$$257326$$

• On place la virgule après le premier chiffre non nul (on est ainsi sûr qu’on aura un nombre compris entre $1$ et $10$, avec $10$ exclu) :

$$2,57326$$

• On a décalé de $4$ rangs vers la gauche la virgule.
• On multiplie donc par $10^4$ :

$$\boxed{2,57326\times 10^4}$$

• On veut écrire $0,0000025703$ avec sa notation scientifique.
• On copie le nombre sans virgule :

$$00000025703$$

• On place la virgule après le premier chiffre non nul :

$$0000002,5703$$

• On a décalé la virgule de $6$ rangs vers la droite.
• On multiplier donc par $10^{-6}$ (on peut aussi supprimer les zéros inutiles qui précèdent le premier chiffre non nul) :

$$\boxed{2,5703\times 10^{-6}}$$

• On veut écrire $921\times 10^7$ avec sa notation scientifique.

On a bien ici une puissance de $10$, mais $921$ n’est évidemment pas compris entre $1$ et $10$.

• Ce n’est donc pas une notation scientifique.
• Ici, $921$ n’a pas de virgule visible, car c’est un entier, mais on peut imaginer qu’elle est juste après le chiffre des unités.
• On passe à l’étape suivante, on place la virgule après le premier chiffre non nul.
  Il y a ici en plus une puissance de $10$, que l’on n’oublie pas :

$$9,21\times 10^7$$

• On a « décalé » la virgule de $2$ rangs vers la gauche.
• On multiplie donc par $10^2$, toujours sans oublier la puissance de $10$ déjà présente :

$$9,21\times 10^2\times 10^7$$

• Ici, ce n’est toujours pas une notation scientifique, car il y a deux puissances de $10$.
• Mais on a vu plus qu’on pouvait en effectuer le produit :

$$\begin{aligned} 9,21\times 10^2\times 10^7&=9,21\times 10^{2+7} \\ &=\boxed{9,21\times 10^{9}} \\ \end{aligned}$$

Applications

L’écriture scientifique, comme son nom l’indique, est très utile aux scientifiques, qu’ils soient, par exemple, astrophysiciens, étudiant des galaxies très lointaines, ou microbiologistes, effectuant des recherches sur des micro-organismes comme les virus. Nous allons voir en quoi cette écriture facilite leur travail.

Donner un ordre de grandeur

Reprenons les deux grandeurs que nous avons vues dans les deux derniers exemples du paragraphe précédent.

• Première grandeur : $0,0000025703=2,5703\times 10^{-6}$

Imaginons que c’est la taille, en mètre, d’une bactérie qu’un microbiologiste étudie.
La valeur décimale $0,0000025703$ n’est pas très parlante : il faudrait compter les zéros, essayer de visualiser ce que cela représente…
En revanche, l’écriture scientifique $2,5703\times 10^{-6}\ \text{m}$ est plus évocatrice : nous avons vu que $10^{-6}$, c’est un millionième.

• On peut ainsi donner facilement un ordre de grandeur de la taille de la bactérie : 2,5 millionièmes de mètre.

Remarquons aussi que $10^{-6}$ correspond au préfixe micro.
La bactérie mesure environ $2,5$ micromètres ($\mu \text{m}$).

• Seconde grandeur : $921\times 10^7=9,21\times 10^9$

Imaginons que c’est la distance, en kilomètre, entre la Terre et un corps céleste étudié par un astrophysicien.
Ici aussi, l’écriture scientifique nous permet de nous représenter un peu plus facilement ce que cela représente, car nous savons que $10^9$ correspond à $1$ milliard.

• Le corps céleste est à un peu plus de neuf milliards de kilomètres.

Convertissons cette grandeur en mètre (l’unité de référence).
Il suffit de multiplier par $1\,000=10^3$ :

$$\begin{aligned} 9,21\times 10^9\times 10^3&=9,21\times 10^{9+3} \\ &=9,21\times 10^{12} \end{aligned}$$

$10^{12}$ correspond au préfixe téra.
Le corps céleste est ainsi à une distance de $9,21$ téramètres ($\text{Tm}$), soit un peu plus de neuf mille milliards de mètres…

Comparer des nombres

Comparer de très grands nombres entre eux, ou de très petits nombres entre eux, n’est pas toujours facile. Mais, s’ils sont écrits avec leurs notations scientifiques, cela devient beaucoup plus simple !

À retenir

Méthode : Comparer des nombres écrits avec leurs notations scientifiques

• On commence par comparer les puissances de $10$, et plus particulièrement leurs exposants.
• Si les nombres ont la même puissance de $10$, alors on compare les nombres décimaux de leurs notations.

Exemple

Avec des exposants positifs :

• $2,1 \times 10^7 > 3,71\times 10^6$
  En effet, en comparant les puissances de $10$ et leurs exposants, on a $7 > 6$.
• $3,7\times 10^6 < 3,71\times 10^6$.
  En effet, les puissances de $10$ étant égales, on compare les nombres décimaux : $3,7 < 3,71$.
• $3,7\times 10^6 < 3,71 \times 10^6 < 2,1\times 10^7$

Avec des exposants négatifs :

• $5,12\times 10^{-3} > 9,7\times 10^{-5}$
  En effet, en comparant les puissances de $10$ et leurs exposants, on a $-3 > -5$.
• $5,2\times 10^{-3} > 5,12\times 10^{-3}$.
  En effet, les puissances de $10$ étant égales, on compare les nombres décimaux : $5,2 > 5,12$.
• $9,7\times 10^{-5} < 5,12\times 10^{-3} < 5,2\times 10^{-3}$

Astuce

Vous le verrez dans les années qui viennent, la notation scientifique a une autre utilité extrêmement importante, en physique-chimie notamment : celle de donner les chiffres significatifs d’une grandeur, c’est-à-dire d’indiquer le degré de précision des mesures qui ont été faites, et donc des calculs qui en découlent.

Puissance d’un nombre relatif avec exposant positif

Définition

Puissance d’un nombre avec exposant positif :

Soit $a$ un nombre relatif, et $n$ un entier supérieur ou égal à $2$.
Le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ se note $a^n$ :

$$a^{\red n}=\underbrace{a\times a\times …\times a\times a}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red n$ facteurs égaux à $a$}}}}$$

• On lit : « $a$ exposant $n$ », ou « $a$ (à la) puissance $n$ ».

On a aussi, par convention :

• $a^1=a$ ;
• pour $a\neq 0$, $a^0=1$.

À retenir

Soit $n$ un entier positif.
On a les cas particuliers suivants :

• $1^n=1$ (on peut multiplier $1$ avec lui-même autant de fois que l’on veut, on restera toujours à $1$).
• et si, de plus, $n$ est non nul : $0^n=0$ (on peut multiplier $0$ avec lui-même autant de fois que l’on veut, on restera toujours à $0$) ;

Attention

$a=10$ est un cas particulier (c’est la base de notre système décimal), nous avions donc l’astuce qui nous permettait d’écrire un $1$ suivi de $n$ zéros pour avoir $10^n$ en écriture décimale.

• En règle générale, il n’y a pas d’astuce pour donner la forme décimale du nombre $a^n$.
  Il conviendra donc de la calculer (on peut bien sûr se servir d’une calculatrice si l’exposant ou le nombre élevé à la puissance sont grands).

Exemple

$\begin{aligned} 5^{\red 6}&=\underbrace{5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red 6$ facteurs $5$}}}}=15\,625 \\ 12^{\red 5}&=\underbrace{12\times 12\times 12\times 12\times 12}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red 5$ facteurs $12$}}}}=248\,832 \\ (-2)^{\red 4}&=\underbrace{-2\times (-2)\times (-2)\times (-2)}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red 4$ facteurs $(-2)$}}}}=4\times 4=16 \\ (-2)^{\red 3}&=\underbrace{-2\times (-2)\times (-2)}_{\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{$\red 3$ facteurs $(-2)$}}}}=4\times (-2)=-8 \end{aligned}$

Dans les deux derniers exemples ci-dessus, nous remarquons que $(-2)^4$ est un nombre positif, et $(-2)^3$ est un nombre négatif – ce qui s’explique par la règle des signes du produit de nombres relatifs.

Propriété

Soit $a$ un nombre négatif et $n$ un nombre entier positif non nul.

• Si $n$ est pair, alors $a^n$ est positif.
• Si $n$ est impair, alors $a^n$ est négatif.

Astuce

En particulier :

• si $n$ est pair, $(-1)^n=1$ ;
• si $n$ est impair, $(-1)^n=-1$.

Attention

Il ne faut pas confondre, par exemple, $(-3)^4$ et $-3^4$.

• Dans le premier cas : $(-3)^4$, c’est $(-3)$ qui est élevé à la puissance $4$ :

$$(-3)^4=-3\times (-3)\times (-3)\times (-3)=81$$

• Dans le second : $-3^4$, c’est l’opposé de $3^4$, soit :

$$-3^4=-(3\times 3\times 3\times 3)=-81$$

• Faites toujours très attention à la façon de lire ou de noter les signes «$-$ » qui apparaissent.