Cours : Calculer une quatrième proportionnelle

Situation de proportionnalité

Grandeurs proportionnelles

Définition

Grandeur :

Une grandeur est une caractéristique qui se mesure ou se calcule : une quantité, un prix, une masse, une durée, une longueur…

Définition

Situation de proportionnalité :

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul, appelé coefficient de proportionnalité.
On dit qu’il y a situation de proportionnalité.

Exemple

• Le prix d’un pack de lait est proportionnel au prix d’une bouteille de lait : si une bouteille de lait coûte $0,65$ €, alors un pack de $6$ bouteilles de lait coûte $6\times 0,65$ €, soit $3,90$ €.
• Le prix d’un plein d’essence est proportionnel au volume acheté.
• L’âge d’une personne n’est pas proportionnel à sa masse : si une personne de $20$ ans pèse $55$ kilos, à $20 \times 3$ soit $60$ ans, elle ne pèsera pas $55 \times 3$, soit $165$ kilos !

Caractériser et reconnaître une situation de proportionnalité

Une situation de proportionnalité est généralement caractérisée par un tableau de proportionnalité.

Définition

Tableau de proportionnalité :

Un tableau de proportionnalité caractérise une situation de proportionnalité. Il contient les valeurs de deux grandeurs proportionnelles.

Propriété

Dans un tableau de proportionnalité, on obtient les nombres d’une ligne en multipliant les nombres de l’autre ligne par le coefficient de proportionnalité.

MÉTHODOLOGIE

Pour reconnaître une situation de proportionnalité, il suffira de vérifier que son tableau caractéristique est bien un tableau de proportionnalité, c'est-à-dire que tous les quotients des valeurs d’une ligne par les valeurs de l’autre ligne sont égaux.

Exemple

Les deux tableaux ci-dessous caractérisent-ils une situation de proportionnalité ?

Tableau 1

$4$	$12$	$14$
$8$	$20$	$28$

Calculons les quotients des valeurs de la 2^e ligne par celles de la 1^re :
$\frac 84 = 2$ ; $\frac{20}{12} = 1,666…$ ; $\frac{28}{14} = 2$.

Tous les quotients ne sont pas égaux.

• Le tableau 1 n’est donc pas un tableau de proportionnalité.
  Il ne caractérise pas une situation de proportionnalité.

Tableau 2

$10$	$12$	$25$	$45$
$3$	$3,6$	$7,5$	$13,5$

Calculons les quotients des valeurs de la 2^e ligne par celles de la 1^re :
$\frac{3}{10} = 0,3$ ; $\frac{3,6}{12} =0,3$ ; $\frac{7,5}{25} = 0,3$ ; $\frac{13,5}{45} = 0,3$.

Tous les quotients sont égaux.

• Le tableau 2 est un tableau de proportionnalité.
  Il caractérise une situation de proportionnalité.

Compléter un tableau de proportionnalité

Pour résoudre un problème de proportionnalité, on demandera généralement de compléter un tableau de proportionnalité, c'est-à-dire de trouver une (ou plusieurs) valeur(s) manquante(s) du tableau.
On parlera de quatrième proportionnelle.

Quatrième proportionnelle

Définition

Quatrième proportionnelle :

Une quatrième proportionnelle est un nombre manquant dans un tableau de proportionnalité.

À retenir

Compléter un tableau de proportionnalité consistera donc à calculer une ou plusieurs quatrième(s) proportionnelle(s).

Exemple

$10$	$12$	$25$	$38$	$45$
$3$	$3,6$	$7,5$	$\text ?$	$13,5$

Le tableau ci-dessus étant un tableau de proportionnalité, la valeur $\text ?$ est une quatrième proportionnelle.

Calculer une quatrième proportionnelle

Il existe plusieurs méthodes pour calculer une quatrième proportionnelle.

Pour illustrer chacune d’elles, prenons l’exemple suivant.

À la période de Noël, pour chaque sapin vendu, une grande surface reverse une somme fixe à une association caritative.
La somme totale reversée est donc proportionnelle au nombre de sapins vendus.
Voici le tableau de proportionnalité que l’on demande de compléter :

Remarque
Pour chaque colonne « complète » du tableau, les quotients de la valeur de la 2^e ligne par celle de la 1^re sont bien tous égaux :
$$\frac{225}{150} = \frac{570}{380} = \frac{630}{420} = 1,5$$

Ce tableau caractérise donc bien une situation de proportionnalité.
Son coefficient est $1,5$.

• Il s’agit donc bien de calculer les deux quatrièmes proportionnelles $x$ et $y$.

MÉTHODOLOGIE

Pour calculer une quatrième proportionnelle, on peut :

• utiliser le passage à l’unité

Pour $150$ sapins vendus, le magasin reverse $225$ €. La situation étant une situation de proportionnalité, on peut affirmer que pour $1$ sapin vendu, le magasin reverse $225 \div 150$ €, soit $1,50$ €.
Donc :

• pour $230$ sapins vendus, le magasin reverse $230\times 1,5$ €, soit $345$ €, d’où $x= 345$ ;
• pour $y$ sapins vendus, le magasin reverse $315$, € donc $y \times 1,5= 315$, d’où $y = 315 \div 1,5 = 210$.
• utiliser le coefficient de proportionnalité

Le coefficient de proportionnalité a été calculé plus haut : il est égal à $1,5$, d’où le tableau suivant :

Ainsi :

• la valeur $x$ est telle que $230\times 1,5 = x$, donc $x= 345$ ;
• la valeur $y$ est telle que $y\times 1,5=315$, donc $y=315\div 1,5=210$.

Astuce

Le coefficient de proportionnalité permet bien de retrouver la valeur à l’unité : pour $1$ sapin vendu, le magasin reverse $1 \times1,50$ €, soit $1,50$ €.

• utiliser l’additivité

Si des valeurs s’additionnent (ou se soustraient) pour en donner une 3^e, alors les valeurs correspondantes s’additionnent (ou se soustraient) également.

Ici, on reconnaît que $150 + 230 = 380$, donc $225 + x = 570$, d’où $x = 570 - 225 = 345$.

• utiliser le coefficient de linéarité

Si deux valeurs sont liées par un coefficient $n$ (c'est-à-dire si une valeur est égale à une autre multipliée par $n$), alors les valeurs correspondantes sont liées par le même coefficient $n$.

Ici on reconnaît que $315 \times 2 = 630$, donc $y \times 2 = 420$, d’où $y = 420 \div 2 = 210$.

À retenir

La méthode de calcul la plus appropriée sera à déterminer en fonction de la situation, des données (relations plus ou moins évidente à reconnaître entre valeurs) et/ou des consignes particulières de résolution.