Cours : Fonction linéaire et proportionnalité

Le montant que l’on paye à une station-service est proportionnel au nombre de litres mis dans le réservoir. C’est une situation de proportionnalité dont le coefficient de proportionnalité est le prix d’un litre d’essence.

Voici un tableau de proportionnalité caractérisant la situation de l’exemple précédent, avec deux valeurs inconnues, $x$ et $y$ :

Dans les colonnes complètes du tableau, les quotients de la valeur de la 2^e ligne par celle de la 1^re de chaque colonne correspondante sont égaux :

$$\dfrac{18,75}{15}=\dfrac{50}{40}=\dfrac{58,75}{47}=1,25$$

• On en déduit le coefficient de proportionnalité, qui est égal à $1,25$.
  Il correspond au prix d’un litre d’essence en euros.

Pour compléter un tableau de proportionnalité, on peut utiliser :

• le coefficient de proportionnalité :
• la valeur de $x$ est telle que :

$$\begin{aligned} x\times 1,25&=38,75 \\ x&=\dfrac{38,75}{1,25}=\textcolor{#DF01D7}{31} \end{aligned}$$

• la valeur de $y$ est telle que :

$$\begin{aligned} 22\times 1,25&=y \\ y&=\textcolor{#1BAF79} {27,50} \end{aligned}$$

• ou l’égalité des « produits en croix », en choisissant de préférence la colonne où les valeurs sont les plus simples :
• la valeur de $x$ est telle que :

$$\begin{aligned} x\times 50&=38,75\times 40 \\ x&=\dfrac{38,75\times 40}{50} \\ &=38,75\times \dfrac 45 \\ &=\textcolor{#DF01D7}{31} \end{aligned}$$

• pour la valeur de $y$ :

$$\begin{aligned} 22\times 50&=y\times 40 \\ y&=\dfrac{22\times 50}{40} \\ y&=\dfrac{22\times 5}4 \\ &=\dfrac{11\times 5}2 \\ &=\dfrac{55}2=\textcolor{#1BAF79}{27,50} \end{aligned}$$

Remarque :
Si on est suffisamment à l’aise, on peut utiliser la « règle de trois » et aller directement aux égalités :

$$\begin{aligned} x&=\dfrac{38,75\times 40}{50} \\ y&=\dfrac{22\times 50}{40} \end{aligned}$$

• Le tableau de proportionnalité complété est donc :

Représentons graphiquement la situation de l’exemple précédent dans un repère où :

• l’axe des abscisses correspond à la quantité d’essence prise (en $\text{L}$) ;
• l’axe des ordonnées correspond au montant payé (en $\text €$).
• Comme il s’agit d’une situation de proportionnalité, les points sont alignés avec l’origine du repère.

Les fonctions ci-dessous définies sont-elles des fonctions linéaires ?

Soit la fonction $f$ définie par :

$$f(x)=\red{-\dfrac{3}{4}} x$$

• $f$ est une fonction linéaire.
  Elle a pour coefficient $\red{-\dfrac34}$.

Soit la fonction $g$ définie par :

$$g(x)=\red 2x$$

• $g$ est une fonction linéaire.
  Elle a pour coefficient $\red 2$.

Soit la fonction $h$ définie par :

$$h(x)=\red 5x+\blue 1$$

• $h$ n’est pas une fonction linéaire car on ajoute $\blue 1$ au produit de $\red 5$ par $x$.

Remarque : $h$ est en fait une fonction affine, que l’on traitera dans le cours consacré.

Soit $f$ la fonction linéaire qui, à $3$, associe $21$ ; autrement dit, on a :

$$f(3)=21$$

Que vaut son coefficient $\red a$ ?

Comme $f$ est une fonction linéaire, elle est définie par $f(x)=\red ax$, avec $\red a$ son coefficient. Et on connaît l’image de $3$ par $f$, qui est égale à $21$.
On a donc :

• d’une part : $f(3) =\red a\times 3$.
• d’autre part : $f(3) =21$ ;
• On en déduit que :

$$3\red a=21$$

Il suffit donc de résoudre cette équation d’inconnue $\red a$, et on trouve :

$$\red a=\dfrac{21}3=\red 7$$

• Ainsi, $f$ est une fonction linéaire de coefficient $\red 7$, et elle est définie par :

$$f(x)=\red 7x$$

Soit $f$ la fonction définie par :

$$f(x)=\red{0,5} x$$

$f$ est donc une fonction linéaire de coefficient $\red{0,5}$.
On peut donner le tableau de valeurs de la fonction $f$ pour les valeurs entières comprises entre $-4$ et $4$, qui est donc un tableau de proportionnalité :

Vous pouvez bien sûr vérifier que, en divisant les valeurs de la deuxième ligne par les valeurs de la première correspondantes, on obtient bien toujours $\red{0,5}$.

Dans un repère d’origine $O$, construisons la représentation graphique de la fonction $f:x\mapsto \red{-0,5}x$.

Calculons, par exemple :

$$f(\textcolor{#DF01D7}2)=\red{-0,5}\times \textcolor{#DF01D7}2=\textcolor{#1BAF79}{-1}$$

• On place donc le point $M$, de coordonnées : $(\textcolor{#DF01D7}2\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{-1})$.
• On trace ensuite la droite qui passe par $O$ et $M$.

Remarque :
Le choix de $2$ pour l’abscisse de $M$ n’a pas été fait complètement au hasard :

• on calcule facilement $\red{0,5}\times 2$ ;
• et on veille à choisir une valeur pas trop proche de $0$, pour plus de précision dans le tracé de la droite.

• Coefficients directeurs positifs :

On considère les fonctions linéaires $f:x\mapsto f(x)=\red{0,8}x$ et $g:x\mapsto g(x)=\purple{2}x$, et $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ leurs courbes représentatives respectives.

On remarque que $\textcolor{#7F00FF} 2 > \red{0,8}$. Du coup, quand on augmente l’abscisse de $1$ en parcourant les droites, on monte plus vite sur $\mathscr C_g$ que sur $\mathscr C_f$.
Si le coefficient directeur est positif, plus il est grand, plus la droite « monte vite ».

• Coefficients directeurs négatifs :

On considère les fonctions linéaires $h:x\mapsto h(x)=\red{-0,8}x$ et $l:x\mapsto l(x)=\purple{-2}x$, et $\mathscr C_h$ et $\mathscr C_l$ leurs courbes représentatives respectives.

On remarque que $\textcolor{#7F00FF} {-2} < \red{-0,8}$. Du coup, quand on augmente l’abscisse de $1$ en parcourant les droites, on descend plus vite sur $\mathscr C_l$ que sur $\mathscr C_h$.
Si le coefficient directeur est négatif, plus il est petit (c’est-à-dire plus il est éloigné de $0$), plus la droite « descend vite ».

La teneur en sel d’un pot de moutarde est de $1,15\,\%$.
Elle est vendue par pots de $700\ \text{g}$, et un pot contient donc une masse de sel égale à :

$$700\ \text{g}\times \dfrac{1,15}{100}=8,05\ \text{g}$$

Durant l’été 2020, Bérangère a récolté au total dans son potager $79\ \text{kg}$ de tomates. Pour l’été 2021, avec une météo plus clémente, elle en a récolté $23\,\%$ de plus. Mais, avec la sécheresse de l’été 2022, sa récolte a diminué de $20\,\%$ par rapport à 2021.
Quelle masse de tomates Bérangère a-t-elle récoltée en 2021 ? en 2022 ?

• En 2021

La masse de tomates récoltées a augmenté de $23\,\%$ par rapport à 2020.
En notant $M_{2021}$ la masse de tomates récoltées par Bérangère, on a, d’après les propriétés que nous venons de voir :((fleche))

$$\begin{aligned} M_{2021}&=79\times \left(1\purple +\dfrac{23}{100}\right) \\ &=79\times (1+0,23) \\ &=79\times 1,23 \\ &=97,17 \end{aligned}$$

• En 2021, Bérangère a récolté $97,17\ \text{kg}$ de tomates.

Remarque : Le coefficient multiplicateur vaut donc ici $1,23$.

• En 2022

Cette fois, par rapport à 2021, il y a eu diminution de $20\,\%$.
En notant $M_{2022}$ la masse de tomates récoltées par Bérangère, on a, toujours d’après les propriétés que nous venons de voir :((fleche))

$$\begin{aligned} M_{2022}&=M_{2021}\times \left(1\orange -\dfrac{20}{100}\right) \\ &=97,17\times (1-0,2) \\ &=97,17\times 0,8 \\ &=77,736 \end{aligned}$$

• En 2022, Bérangère a récolté $77,736\ \text{kg}$ de tomates.

Remarque : Le coefficient multiplicateur vaut donc ici $0,8$.