Cours : Fonction linéaire et proportionnalité

Fonction linéaire et proportionnalité

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Introduction :

L’objectif de ce cours est d’étudier les fonctions linéaires et de faire le lien avec la proportionnalité.
Pour cela, nous commencerons par un rappel sur la proportionnalité. Nous introduirons ensuite les fonctions linéaires et mettrons en évidence la relation entre les deux notions. Nous travaillerons enfin avec des pourcentages et découvrirons notamment la notion de coefficient multiplicateur.

Rappels sur la proportionnalité

Situations de proportionnalité

Définition

Situation de proportionnalité :

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une sont obtenues en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre non nul appelé coefficient de proportionnalité.

On dit alors qu’il y a situation de proportionnalité.

Exemple

Le montant que l’on paye à une station-service est proportionnel au nombre de litres mis dans le réservoir. C’est une situation de proportionnalité dont le coefficient de proportionnalité est le prix d’un litre d’essence.

Tableau de proportionnalité

Définition

Tableau de proportionnalité :

Un tableau de proportionnalité caractérise une situation de proportionnalité. Il contient les valeurs de deux grandeurs proportionnelles.
C’est donc un tableau dans lequel on obtient les nombres d’une ligne en multipliant les nombres de l’autre ligne par le coefficient de proportionnalité.

Exemple

Voici un tableau de proportionnalité caractérisant la situation de l’exemple précédent, avec deux valeurs inconnues, $x$ et $y$ :

$Tableau de proportionnalité$ Tableau de proportionnalité

Dans les colonnes complètes du tableau, les quotients de la valeur de la 2^e ligne par celle de la 1^re de chaque colonne correspondante sont égaux :

$\dfrac{18,75}{15}=\dfrac{50}{40}=\dfrac{58,75}{47}=1,25$

On en déduit le coefficient de proportionnalité, qui est égal à $1,25$ .
Il correspond au prix d’un litre d’essence en euros.

Pour compléter un tableau de proportionnalité, on peut utiliser :

le coefficient de proportionnalité :
la valeur de $x$ est telle que :

$\begin{aligned} x\times 1,25&=38,75 \\ x&=\dfrac{38,75}{1,25}=\textcolor{#DF01D7}{31} \end{aligned}$

la valeur de $y$ est telle que :

$\begin{aligned} 22\times 1,25&=y \\ y&=\textcolor{#1BAF79} {27,50} \end{aligned}$

ou l’égalité des « produits en croix », en choisissant de préférence la colonne où les valeurs sont les plus simples :
la valeur de $x$ est telle que :

$\begin{aligned} x\times 50&=38,75\times 40 \\ x&=\dfrac{38,75\times 40}{50} \\ &=38,75\times \dfrac 45 \\ &=\textcolor{#DF01D7}{31} \end{aligned}$

pour la valeur de $y$ :

$\begin{aligned} 22\times 50&=y\times 40 \\ y&=\dfrac{22\times 50}{40} \\ y&=\dfrac{22\times 5}4 \\ &=\dfrac{11\times 5}2 \\ &=\dfrac{55}2=\textcolor{#1BAF79}{27,50} \end{aligned}$

Remarque :
Si on est suffisamment à l’aise, on peut utiliser la « règle de trois » et aller directement aux égalités :

$\begin{aligned} x&=\dfrac{38,75\times 40}{50} \\ y&=\dfrac{22\times 50}{40} \end{aligned}$

Le tableau de proportionnalité complété est donc :

$Tableau de proportionnalité complété$ Tableau de proportionnalité complété

Représentation graphique

Propriété

Si deux grandeurs sont proportionnelles, alors la situation de proportionnalité est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l’origine du repère.
Si une situation est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l’origine du repère, alors c’est une situation de proportionnalité.

Exemple

Représentons graphiquement la situation de l’exemple précédent dans un repère où :

l’axe des abscisses correspond à la quantité d’essence prise (en $\text{L}$ ) ;
l’axe des ordonnées correspond au montant payé (en $\text €$ ).
Comme il s’agit d’une situation de proportionnalité, les points sont alignés avec l’origine du repère.

$Représentation graphique de la situation de proportionnalité$ Représentation graphique de la situation de proportionnalité

Ces rappels sur la proportionnalité étant faits, nous pouvons passer à l’étude des fonctions linéaires.

Les fonctions linéaires

Définition

Fonction linéaire :

Soit $a$ un nombre donné.
Une fonction linéaire est une fonction qui admet une expression algébrique de la forme $\red ax$ .

On la note :

$f:x\mapsto \red ax$

On dit aussi que la fonction $f$ est définie par $f(x)=\red ax$ .

Exemple

Les fonctions ci-dessous définies sont-elles des fonctions linéaires ?

Soit la fonction $f$ définie par :

$f(x)=\red{-\dfrac{3}{4}} x$

$f$ est une fonction linéaire.
Elle a pour coefficient $\red{-\dfrac34}$ .

Soit la fonction $g$ définie par :

$g(x)=\red 2x$

$g$ est une fonction linéaire.
Elle a pour coefficient $\red 2$ .

Soit la fonction $h$ définie par :

$h(x)=\red 5x+\blue 1$

$h$ n’est pas une fonction linéaire car on ajoute $\blue 1$ au produit de $\red 5$ par $x$ .

Remarque : $h$ est en fait une fonction affine, que l’on traitera dans le cours consacré.

Si on connaît l’image d’un nombre par une fonction linéaire $f$ , alors on peut en déduire le coefficient de $f$ et ainsi déterminer son expression littérale.

À retenir

Méthode : Comment déterminer le coefficient d’une fonction linéaire

$f$ est une fonction linéaire de coefficient $\red a$ que l’on cherche à déterminer.
On connaît l’image $c$ d’un nombre $b$ par $f$ : $f(b)=c$ .
On sait ainsi que :

$f(b)=\red ab=c$

On en déduit que :

$\red a=\dfrac cb$

Exemple

Soit $f$ la fonction linéaire qui, à $3$ , associe $21$ ; autrement dit, on a :

$f(3)=21$

Que vaut son coefficient $\red a$ ?

Comme $f$ est une fonction linéaire, elle est définie par $f(x)=\red ax$ , avec $\red a$ son coefficient. Et on connaît l’image de $3$ par $f$ , qui est égale à $21$ .
On a donc :

d’une part : $f(3) =\red a\times 3$ .
d’autre part : $f(3) =21$ ;
On en déduit que :

$3\red a=21$

Il suffit donc de résoudre cette équation d’inconnue $\red a$ , et on trouve :

$\red a=\dfrac{21}3=\red 7$

Ainsi, $f$ est une fonction linéaire de coefficient $\red 7$ , et elle est définie par :

$f(x)=\red 7x$

Fonction linéaire et proportionnalité

Propriété

On considère $f$ , une fonction linéaire de coefficient $\red a$ :

$f: x\mapsto \red ax$

Tout tableau de valeurs de $f$ est un tableau de proportionnalité.

Son coefficient de proportionnalité vaut $\red a$ .

Exemple

Soit $f$ la fonction définie par :

$f(x)=\red{0,5} x$

$f$ est donc une fonction linéaire de coefficient $\red{0,5}$ .
On peut donner le tableau de valeurs de la fonction $f$ pour les valeurs entières comprises entre $-4$ et $4$ , qui est donc un tableau de proportionnalité :

$Tableau de valeurs de la fonction f$ Tableau de valeurs de la fonction f

Vous pouvez bien sûr vérifier que, en divisant les valeurs de la deuxième ligne par les valeurs de la première correspondantes, on obtient bien toujours $\red{0,5}$ .

À retenir

Toute situation de proportionnalité peut être modélisée par une fonction linéaire, dont le coefficient est égal au coefficient de proportionnalité.

Représentation graphique

Propriété

Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction linéaire $f:x\mapsto \red ax$ est une droite qui passe par l’origine du repère.

Le coefficient $\red a$ de $f$ est appelé coefficient directeur de la droite.

À retenir

Méthode : Comment représenter graphiquement une fonction linéaire

On veut construire la représentation graphique d’une fonction linéaire $f$ dans un repère d’origine $O$ .
Comme cette représentation graphique est une droite passant par $O\,(0\ ;\, 0)$ , il suffit de connaître les coordonnées d’un seul point $M\,\big(x\ ;\, f(x)\big)$ autre que $O$ .

On place alors le point $M$ dans le repère.
On trace la droite $(OM)$ .
$(OM)$ est la représentation graphique de la fonction $f$ .

Exemple

Dans un repère d’origine $O$ , construisons la représentation graphique de la fonction $f:x\mapsto \red{-0,5}x$ .

Calculons, par exemple :

$f(\textcolor{#DF01D7}2)=\red{-0,5}\times \textcolor{#DF01D7}2=\textcolor{#1BAF79}{-1}$

On place donc le point $M$ , de coordonnées : $(\textcolor{#DF01D7}2\ ;\, \textcolor{#1BAF79}{-1})$ .
On trace ensuite la droite qui passe par $O$ et $M$ .

$Droite représentant la fonction f$ Droite représentant la fonction f

Remarque :
Le choix de $2$ pour l’abscisse de $M$ n’a pas été fait complètement au hasard :

on calcule facilement $\red{0,5}\times 2$ ;
et on veille à choisir une valeur pas trop proche de $0$ , pour plus de précision dans le tracé de la droite.

On peut aussi interpréter le coefficient directeur $\red a$ de la droite : en parcourant la droite, si on augmente de $1$ l’abscisse, l’ordonnée varie de $\red a$ .

Si $\red a$ est positif, l’ordonnée augmente, et la droite « monte ».
Si $\red a$ est négatif, l’ordonnée diminue, et la droite « descend ».

Exemple

Coefficients directeurs positifs :

On considère les fonctions linéaires $f:x\mapsto f(x)=\red{0,8}x$ et $g:x\mapsto g(x)=\purple{2}x$ , et $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ leurs courbes représentatives respectives.

$Interprétation graphique d’un coefficient directeur positif$ Interprétation graphique d’un coefficient directeur positif

On remarque que $\textcolor{#7F00FF} 2 > \red{0,8}$ . Du coup, quand on augmente l’abscisse de $1$ en parcourant les droites, on monte plus vite sur $\mathscr C_g$ que sur $\mathscr C_f$ .
Si le coefficient directeur est positif, plus il est grand, plus la droite « monte vite ».

Coefficients directeurs négatifs :

On considère les fonctions linéaires $h:x\mapsto h(x)=\red{-0,8}x$ et $l:x\mapsto l(x)=\purple{-2}x$ , et $\mathscr C_h$ et $\mathscr C_l$ leurs courbes représentatives respectives.

$Interprétation graphique d’un coefficient directeur négatif$ Interprétation graphique d’un coefficient directeur négatif

On remarque que $\textcolor{#7F00FF} {-2} < \red{-0,8}$ . Du coup, quand on augmente l’abscisse de $1$ en parcourant les droites, on descend plus vite sur $\mathscr C_l$ que sur $\mathscr C_h$ .
Si le coefficient directeur est négatif, plus il est petit (c’est-à-dire plus il est éloigné de $0$ ), plus la droite « descend vite ».

Pourcentage et évolution

Pourcentage (rappel)

Rappel

Soit $p$ un nombre positif.
Pour calculer $p\,\%$ d’une quantité, on multiplie cette quantité par $\dfrac p{100}$ .

Exemple

La teneur en sel d’un pot de moutarde est de $1,15\,\%$ .
Elle est vendue par pots de $700\ \text{g}$ , et un pot contient donc une masse de sel égale à :

$700\ \text{g}\times \dfrac{1,15}{100}=8,05\ \text{g}$

Pourcentage d’évolution et coefficient multiplicateur

Propriété

Soit $p$ un nombre positif.

Augmenter un nombre de $p\,\%$ revient à le multiplier par un nombre $a$ qui vaut :

$a=1\purple +\dfrac p{100}$

Diminuer un nombre de $p\,\%$ revient à le multiplier par un nombre $a$ qui vaut :

$a=1\orange -\dfrac p{100}$

$a$ est appelé coefficient multiplicateur.

Exemple

Durant l’été 2020, Bérangère a récolté au total dans son potager $79\ \text{kg}$ de tomates. Pour l’été 2021, avec une météo plus clémente, elle en a récolté $23\,\%$ de plus. Mais, avec la sécheresse de l’été 2022, sa récolte a diminué de $20\,\%$ par rapport à 2021.
Quelle masse de tomates Bérangère a-t-elle récoltée en 2021 ? en 2022 ?

En 2021

La masse de tomates récoltées a augmenté de $23\,\%$ par rapport à 2020.
En notant $M_{2021}$ la masse de tomates récoltées par Bérangère, on a, d’après les propriétés que nous venons de voir :((fleche))

$\begin{aligned} M_{2021}&=79\times \left(1\purple +\dfrac{23}{100}\right) \\ &=79\times (1+0,23) \\ &=79\times 1,23 \\ &=97,17 \end{aligned}$

En 2021, Bérangère a récolté $97,17\ \text{kg}$ de tomates.

Remarque : Le coefficient multiplicateur vaut donc ici $1,23$ .

En 2022

Cette fois, par rapport à 2021, il y a eu diminution de $20\,\%$ .
En notant $M_{2022}$ la masse de tomates récoltées par Bérangère, on a, toujours d’après les propriétés que nous venons de voir :((fleche))

$\begin{aligned} M_{2022}&=M_{2021}\times \left(1\orange -\dfrac{20}{100}\right) \\ &=97,17\times (1-0,2) \\ &=97,17\times 0,8 \\ &=77,736 \end{aligned}$

En 2022, Bérangère a récolté $77,736\ \text{kg}$ de tomates.

Remarque : Le coefficient multiplicateur vaut donc ici $0,8$ .

Attention

La récolte de tomates de 2020 a augmenté de $23\,\%$ , puis a diminué de $20\,\%$ . L’augmentation peut sembler supérieure à la diminution. Pourtant, Bérangère a moins de tomates en 2022 qu’en 2020.

Ceci s’explique par le fait que les deux pourcentages ne s’appliquent pas à la même quantité ; ainsi, $23\,\%$ de $79\ \text{kg}$ représentent moins que $20\,\%$ de $97,17\ \text{kg}$ !

De la même façon, une quantité qui augmente de $20\,\%$ , puis qui diminue de $20\,\%$ , ne revient pas à sa valeur initiale : les pourcentages ne s’appliquent pas aux mêmes valeurs !

Astuce

Profitons aussi de l’exemple précédent pour mieux comprendre d’où viennent les propriétés sur le coefficient multiplicateur.

En 2022, la masse récoltée $M_ {2022}$ diminue de $20\,\%$ par rapport à celle de $2021$ , $M_{2021}$ .
Pour déterminer $M_{2022}$ , on soustrait donc, à $M_{2021}$ , $20\,\%$ de sa valeur, soit :

$M_{2022}=M_{2021}-\dfrac{20}{100}\times M_{2021}$

Factorisons le membre de droite par $M_{2021}$ :

$M_{2022}=M_\text{2021}\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)$

On retrouve bien le coefficient multiplicateur :

$1-\dfrac{20}{100}=0,8$

À retenir

Il est utile de retenir les coefficients multiplicateurs donnés dans le tableau suivant :

	Coefficients multiplicateurs
Pourcentage	Diminution	Augmentation
$5\,\%$	$0,95$	$1,05$
$10\,\%$	$0,9$	$1,1$
$20\,\%$	$0,8$	$1,2$
$25\,\%$	$0,75$	$1,25$
$50\,\%$	$0,5$	$1,5$

Pourcentage d’évolution et fonction linéaire

Un commerçant a appliqué une remise de $30\,\%$ sur l’ensemble de son magasin.
Ainsi, si le prix initial d’un article était de $x\ \text{€}$ , son prix, après remise, est :

$x\times \left(1-\dfrac{30}{100}\right)=x\times (1-0,3)=\boxed{\red{0,7}x}$

Le coefficient multiplicateur correspondant est ainsi égal à $\red{0,7}$ .

Considérons maintenant la fonction $f$ qui, au prix initial $x$ , en $\text{€}$ , associe le prix final $f(x)$ , en $\text{€}$ . $f$ est donc définie par $f(x)=\red{0,7}x$ .

$f$ est une fonction linéaire de coefficient $\red{0,7}$ , égal au coefficient multiplicateur.

Par exemple, $f(5)=\red{0,7}\times 5=3,5$ signifie qu’un article qui était à $5\ \text €$ vaut, après remise de $30\,\%$ , $3,5\ \text €$ .

On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f$ :

$Droite représentant la fonction f$ Droite représentant la fonction f

Ainsi, dans cette représentation :

sur l’axe des abscisses, on lit les anciens prix ;
sur l’axe des ordonnées, on lit les prix actuels, après remise de $30\,\%$ .

Le commerçant vient de vendre $5,60\ \text €$ un agenda. Combien coûtait-il avant la remise ?
On cherche donc un nombre dont l’image par $f$ vaut $5,6$ .

Autrement dit, on cherche un antécédent de $5,6$ par $f$ .

Astuce

Par une fonction linéaire de coefficient non nul, tout nombre admet un unique antécédent.

Pour cela, on connaît deux méthodes, apprises dans le cours sur les fonctions : graphique et algébrique.

Méthode graphique

On trace la droite parallèle à l’axe des abscisses qui passe par le point de coordonnées $(0\ ;\, 5,6)$ . On lit ensuite l’abscisse du point d’intersection de cette droite avec $\mathscr C_f$ :

$Déterminer graphiquement l’antécédent de 5,6$ Déterminer graphiquement l’antécédent de 5,6

L’antécédent de $5,6$ par $f$ vaut environ $8$ .

Remarque : Difficile, graphiquement, de donner avec exactitude le résultat. Ici, néanmoins, il semble que $8$ est la valeur exacte de l’antécédent de $5,6$ .

On peut le vérifier en calculant :

$f(8)=\red{0,7}\times 8=5,6$

Méthode algébrique

On sait que $f(x)= \red{0,7}x$ . Et on cherche le nombre $x$ tel que $f(x)=5,6$ . Ce qui revient à résoudre l’équation :

$\begin{aligned} \red{0,7x}&=5,6 \\ x&=\dfrac{5,6}{0,7}=8 \end{aligned}$

$8$ est ainsi l’unique solution de l’équation.

$8$ est donc l’antécédent de $5,6$ par $f$ .

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