Cours : Représentation complète des actions

Moment d’une force

Définition

Considérons deux plongeoirs, de poids identique mais l’un plus court que l’autre, et deux personnes, de poids identique, qui se trouvent à l’extrémité de la planche.

Pour les deux plongeoirs, les forces exercées sont :

• le poids du plongeoir, qui s’applique en son point de gravité ($G$ et $G^\prime$) : $\vec P$ ;
• la force de la personne sur le plongeoir, qui s’applique en une extrémité ($I$ et $I^\prime$) du plongeoir : $\vec F_{\text{pers}\rightarrow\text{pl}}$ (nous considérons qu’il s’agit de son seul poids) ;
• la force du sol sur le plongeoir, qui s’applique en l’autre extrémité ($B$ et $B^\prime$) : $\vec F_{\text{sol}\rightarrow\text{pl}}$.

Sur les deux plongeoirs, les poids étant identiques, les forces sont identiques. Pourtant, les deux systèmes « plongeoir » ne se comportent pas de la même façon : intuitivement, nous sentons que la personne de droite ira plus haut et plus loin que la personne de gauche.

Les seules différences entre les deux situations sont :

• le point d’application de $\vec P$, avec donc $BG<B^\prime G^\prime$ ;
• le point d’application de $\vec F_{\text{pers}\rightarrow\text{pl}}$, avec donc $BI<B^\prime I^\prime$.
• Pour décrire ce type de situation, nous utilisons la notion de moment d’une force.

Définition

Moment d’une force :

Le moment est l’aptitude d’une force à faire tourner un système autour d’un point.

Soit $\vec F$, une force exercée en un point $B$, le moment de $\vec F$ en un point $I$ s’écrit :

$$\vec M_{\tiny I}(\vec F)$$

À retenir

Pour déterminer le moment d’une force $\vec F$ en un point $I$, on utilise le produit vectoriel :

$$\vec M_{\tiny I}(\vec F)=\vec F\land\overrightarrow{BI} $$

Ainsi, dans un repère orthonormé $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$, si $\green{\vec F}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} \green{x_{\tiny F}} \\ \green{y_{\tiny F}} \\ \green{z_{\tiny F}} \end{pmatrix}$ et $\red{ \overrightarrow{BI\ }}\ \begin{pmatrix} \red{x_{\tiny I}} \\ \red{y_{\tiny I}} \\ \red{z_{\tiny I}} \end{pmatrix}$ :

$$\begin{aligned} \blue{\vec M_{\tiny I}(\vec F)}&=\begin{pmatrix} \green{y_{\tiny F}} \red{z_{\tiny I}}-\green{z_{\tiny F}} \red{y_{\tiny I}} \\ \green{z_{\tiny F}} \red{x_{\tiny I}}-\green{x_{\tiny F}} \red{z_{\tiny I}} \\ \green{x_{\tiny F}} \red{y_{\tiny I}}-\green{y_{\tiny F}} \red{x_{\tiny I}} \\ \end{pmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \\ &=\begin{pmatrix} \blue{x_{\tiny M}} \\ \blue{y_{\tiny M}} \\ \blue{z_{\tiny M}} \end{pmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \end{aligned}$$

Dans la plupart des cas, nous nous intéresserons principalement à la norme du moment :

$$\Big\Vert \vec M_{\tiny I}(\vec F) \Big \Vert=\Big \Vert \vec F\Big \Vert \times \Big \Vert \overrightarrow {BI\ }\Big \Vert \times \sin \Big(\vec F,\ \overrightarrow{BI\ }\Big)$$

À retenir

Dans le plan, avec $H$ la projection orthogonale de $I$ sur la droite de vecteur directeur $\vec F$ :

• $\Big\Vert \vec M_{\tiny I} (\vec F) \Big\Vert=\Big\Vert \vec F\Big\Vert \times HI$

• La norme d’un moment, comme produit de la norme d’une force et d’une distance, s’exprime en newton mètre ($\text{N}\cdot \text{m}$).

Ainsi, si nous reprenons l’exemple des deux plongeoirs, nous nous rendons compte que la norme du moment de la force $\vec F_{\text{sol}\rightarrow\text{pl}}$ est plus petite en $I$ qu’en $I^\prime$ (puisque $BI<B^\prime I^\prime$) :

$$\Big\Vert \vec M_{\tiny I}(\vec F_{\text{sol}\rightarrow\text{pl}}) \Big\Vert < \Big\Vert \vec M_{\tiny I^\prime}(\vec F_{\text{sol}\rightarrow\text{pl}}) \Big\Vert $$

• Nous comprenons mieux maintenant pourquoi la personne sur le plongeoir le plus long ira plus haut et plus loin.

Cas particuliers

• $B$ et $I$ sont confondus :

$$\begin{aligned} \vec M_{\tiny I}(\vec F)&= \vec M_B(\vec F) \\ &=\vec F\land\vec 0 \\ &=\vec 0 \end{aligned}$$

À retenir

Le moment d’une force calculé en son point d’application est nul.

• $\vec F$ est parallèle à l’axe de rotation :

$$\begin{aligned} \vec M_{\tiny I} (\vec F) &= \Big\Vert \vec F\Big\Vert \times \Big\Vert \overrightarrow{BI\ }\Big\Vert \times \sin 0 \\ &=\vec 0 \end{aligned}$$

À retenir

Le moment d’une force parallèle à l’axe de rotation est nul.

Représentation analytique d’une force

Comme nous le verrons dans le cours suivant, les lois de la statique se détaillent en prenant en compte les expressions analytiques des forces et de leurs moments.

• Nous allons donc adopter une présentation de la force qui permettra de faciliter l’écriture de ces lois.

De plus, cette présentation vous permettra d’appréhender plus facilement la notion de torseur, que vous découvrirez en classe supérieure.

Représentation complète d’une force

Intéressons-nous à l’un des plongeoirs, le plus court, par exemple.

L’action du sol sur le plongeoir se caractérise par la force $\vec F_{\text{sol}\rightarrow\text{pl}}$ et le moment qu’elle crée : $\vec M_{\tiny I}(\vec F_{\text{sol}\rightarrow\text{pl}})$.

À retenir

Cette action s’écrit ainsi :

$$\begin{Bmatrix} A_{\green B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}_{\blue I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}= \begin{Bmatrix} \green{\vec F_{\tiny B} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})} \\ \blue{\vec M_{\tiny I} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})} \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}$$

Avec :

• $\green B$ le point d’application de l’action ;
• $\blue I$ le point où est calculé le moment ;
• $\green{\vec F_{\tiny B} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})}$ la force de l’action mécanique ;
• $\blue{\vec M_{\tiny I}\big( F_{\tiny B} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})\big)}$ le moment de l’action mécanique.

Nous pouvons maintenant détailler l’expression analytique de l’action, en projetant sa force et son moment sur les axes du repère.

$$\begin{Bmatrix} A_{\green B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}_{\blue I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}= \begin{Bmatrix} \green {x_{\tiny F_B}} & \blue{x_{\tiny M_I}} \\ \green{y_{\tiny F_B}} & \blue{y_{\tiny M_I}} \\ \green{z_{\tiny F_B}} & \blue{z_{\tiny M_I}} \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}$$

Avec :

• $\green{\vec F_{\tiny B} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} \green{x_{\tiny F_B}} \\ \green{y_{\tiny F_B}} \\ \green{z_{\tiny F_B}} \end{pmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}$
• $\blue{\vec M_{\tiny I} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} \blue{x_{\tiny M_I}} \\ \blue{y_{\tiny M_I}} \\ \blue{z_{\tiny M_I}} \end{pmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}$

Bilan des forces

Nous l’avons vu plus haut, le moment d’une force calculé en son point d’application est nul.

• Nous pouvons donc écrire :

$$\begin{Bmatrix} A_{\green B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}_{\blue B\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}= \begin{Bmatrix} \green{x_{\tiny F_B}} & \blue 0 \\ \green{y_{\tiny F_B}} & \blue 0 \\ \green{z_{\tiny F_B}} & \blue0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}$$

Nous pouvons maintenant compléter le bilan des forces, en représentant complètement chacune des actions :

$$\begin{aligned} \begin{Bmatrix} A_{\green B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}_{\blue B\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} \green 0 & \blue 0 \\ \green{y_{\tiny F_B}} & \blue 0 \\ \green 0 & \blue 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \\ \\ \begin{Bmatrix} A_{\green G}(\text{pesanteur}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}_{\blue G\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} \green 0 & \blue 0 \\ \green{-m_{\text{pl}}\times g} & \blue 0 \\ \green 0 & \blue 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \\ \\ \begin{Bmatrix} A_{\green I}(\text{pers}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}_{\blue I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} \green 0 & \blue 0 \\ \green{-m_{\text{pers}}\times g} & \blue 0 \\ \green 0 & \blue 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \end{aligned}$$