Fiche de révision : Représentation complète des actions

Moment d’une force

• Le moment d’une force est l’aptitude d’une force à faire tourner un système autour d’un point.
• Soit $\vec F$, une force exercée en un point $B$, le moment de $\vec F$ en un point $I$ s’écrit :

$$\vec M_{\tiny I}(\vec F)$$

• Pour déterminer le moment d’une force $\vec F$ en un point $I$, on utilise le produit vectoriel :

$$\vec M_{\tiny I}(\vec F)=\vec F\land\overrightarrow{BI} $$

• Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$, si $\green{\vec F}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} \green{x_{\tiny F}} \\ \green{y_{\tiny F}} \\ \green{z_{\tiny F}} \end{pmatrix}$ et $\red{ \overrightarrow{BI\ }}\ \begin{pmatrix} \red{x_{\tiny I}} \\ \red{y_{\tiny I}} \\ \red{z_{\tiny I}} \end{pmatrix}$ :

$$\begin{aligned} \blue{\vec M_{\tiny I}(\vec F)}&=\begin{pmatrix} \green{y_{\tiny F}} \red{z_{\tiny I}}-\green{z_{\tiny F}} \red{y_{\tiny I}} \\ \green{z_{\tiny F}} \red{x_{\tiny I}}-\green{x_{\tiny F}} \red{z_{\tiny I}} \\ \green{x_{\tiny F}} \red{y_{\tiny I}}-\green{y_{\tiny F}} \red{x_{\tiny I}} \\ \end{pmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \\ &=\begin{pmatrix} \blue{x_{\tiny M}} \\ \blue{y_{\tiny M}} \\ \blue{z_{\tiny M}} \end{pmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \end{aligned}$$

• La norme du moment, exprimée en newton mètre, s’écrit : $$\Big\Vert \vec M_{\tiny I}(\vec F) \Big \Vert=\Big \Vert \vec F\Big \Vert \times \Big \Vert \overrightarrow {BI\ }\Big \Vert \times \sin \Big(\vec F,\ \overrightarrow{BI\ }\Big)$$
• Dans le plan, avec $H$ la projection orthogonale de $I$ sur la droite de vecteur directeur $\vec F$ :

$$\Big\Vert \vec M_{\tiny I} (\vec F) \Big\Vert=\Big\Vert \vec F\Big\Vert \times HI$$

• Cas particuliers :
• le moment d’une force calculé en son point d’application est nul ;
• le moment d’une force parallèle à l’axe de rotation est nul.

Représentation analytique d’une force

• Pour mieux appréhender les lois de la statique, nous adoptons ici une présentation de la force.

Représentation complète d’une force

Intéressons-nous à l’un des plongeoirs, le plus court, par exemple.

L’action du sol sur le plongeoir se caractérise par la force $\vec F_{\text{sol}\rightarrow\text{pl}}$ et le moment qu’elle crée : $\vec M_{\tiny I}(\vec F_{\text{sol}\rightarrow\text{pl}})$.

À retenir

Cette action s’écrit ainsi :

$$\begin{Bmatrix} A_{\green B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}_{\blue I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}= \begin{Bmatrix} \green{\vec F_{\tiny B} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})} \\ \blue{\vec M_{\tiny I} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})} \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}$$

Avec :

• $\green B$ le point d’application de l’action ;
• $\blue I$ le point où est calculé le moment ;
• $\green{\vec F_{\tiny B} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})}$ la force de l’action mécanique ;
• $\blue{\vec M_{\tiny I}\big( F_{\tiny B} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})\big)}$ le moment de l’action mécanique.

Nous pouvons maintenant détailler l’expression analytique de l’action, en projetant sa force et son moment sur les axes du repère.

$$\begin{Bmatrix} A_{\green B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}_{\blue I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}= \begin{Bmatrix} \green {x_{\tiny F_B}} & \blue{x_{\tiny M_I}} \\ \green{y_{\tiny F_B}} & \blue{y_{\tiny M_I}} \\ \green{z_{\tiny F_B}} & \blue{z_{\tiny M_I}} \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}$$

Avec :

• $\green{\vec F_{\tiny B} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} \green{x_{\tiny F_B}} \\ \green{y_{\tiny F_B}} \\ \green{z_{\tiny F_B}} \end{pmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}$
• $\blue{\vec M_{\tiny I} (\text{sol}\rightarrow\text{pl})}$ de coordonnées $\begin{pmatrix} \blue{x_{\tiny M_I}} \\ \blue{y_{\tiny M_I}} \\ \blue{z_{\tiny M_I}} \end{pmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}$

Bilan des forces

Nous l’avons vu plus haut, le moment d’une force calculé en son point d’application est nul.

• Nous pouvons donc écrire :

$$\begin{Bmatrix} A_{\green B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}_{\blue B\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}= \begin{Bmatrix} \green{x_{\tiny F_B}} & \blue 0 \\ \green{y_{\tiny F_B}} & \blue 0 \\ \green{z_{\tiny F_B}} & \blue0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}$$

Nous pouvons maintenant compléter le bilan des forces, en représentant complètement chacune des actions :

$$\begin{aligned} \begin{Bmatrix} A_{\green B}(\text{sol}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}_{\blue B\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} \green 0 & \blue 0 \\ \green{y_{\tiny F_B}} & \blue 0 \\ \green 0 & \blue 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \\ \\ \begin{Bmatrix} A_{\green G}(\text{pesanteur}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}_{\blue G\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} \green 0 & \blue 0 \\ \green{-m_{\text{pl}}\times g} & \blue 0 \\ \green 0 & \blue 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \\ \\ \begin{Bmatrix} A_{\green I}(\text{pers}\rightarrow\text{pl}) \end{Bmatrix}_{\blue I\ (O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)}&= \begin{Bmatrix} \green 0 & \blue 0 \\ \green{-m_{\text{pers}}\times g} & \blue 0 \\ \green 0 & \blue 0 \end{Bmatrix}_{(O\,;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)} \end{aligned}$$