Cours : Représentation et variation d’un vecteur vitesse

Déplacement d’un système

Rappel sur la trajectoire d’un point

Dans un référentiel donné, la trajectoire d’un point est l’ensemble des positions successives occupées par ce point au cours du temps.

• La trajectoire est rectiligne lorsque le point parcourt une ligne droite.
• La trajectoire est curviligne lorsque le point se déplace sur une courbe quelconque.
• La trajectoire circulaire en est un cas particulier lorsque le point se déplace sur un cercle.

Vecteur déplacement

Un point mobile se déplace entre deux points $M$ et $M^{\prime}$, on définit donc le vecteur déplacement $\overrightarrow{MM^{\prime}}$ ayant les propriétés suivantes :

• direction : droite $(MM^{\prime})$
• sens du mouvement : origine $M$ et extrémité $M^{\prime}$
• valeur (norme) : longueur du segment $[MM^{\prime}]$
• Le vecteur déplacement définit donc le plus court chemin entre les points $M$ et $M^{\prime}$.

Sur le graphique, le vecteur déplacement $\overrightarrow{MM^{\prime}}$ est le même pour les trajectoires $1$ et $2$.

Vitesse d’un point mobile

Vitesses moyenne et instantanée

Propriété

Un mobile qui se déplace, parcourt une distance notée $d$ pendant une durée $\Delta t$.
On définit la vitesse moyenne $v_{moy}$ d’un mobile entre les positions $M_1$ et $M_2$ aux temps $t_1$ et $t_2$.

Le rapport entre la distance parcourue et la durée du parcours, vérifie donc la relation suivante :

$$v_{moy} =\dfrac{d}{\Delta t}$$

où $\Delta t = t_2 - t_1$.

• $d$ : la distance parcourue en mètre $(\text{m})$ ;
• $\Delta t$ : la durée du parcours en seconde $(\text{s})$ ;
• $v_{moy}$ en mètre par seconde ($\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$).

Astuce

En règle général, $t$ définit un temps et $\Delta t$ une durée.

Propriété

La vitesse instantanée du mobile au point $M$, à la date $t$, peut-être approximée par la vitesse moyenne sur un intervalle de temps $\Delta t$ très court et sera notée $v(t)$, car elle peut varier dans le temps.

Ces notions de vitesse moyenne et vitesse instantanée ne précisent pas le sens ni la direction du mouvement. On peut donc définir un vecteur permettant de connaître toutes ces informations : le vecteur vitesse.

Vecteurs vitesses

Propriété

Par analogie aux relations précédentes, on définit le vecteur vitesse moyenne $\vec{v}_{moy}$ d’un point matériel, entre les points $M$ à la date $t$ et $M^{\prime}$ à la date $t^{\prime}$.

$$\vec{v}_{moy} =\dfrac{\overrightarrow{MM^{\prime}}}{\Delta t}$$

où $\Delta t = t^{\prime} - t$.

• Le vecteur vitesse moyenne et le vecteur déplacement sont donc colinéaires et de même sens.

Propriété

Le vecteur vitesse instantanée, à un instant $t$, est approximé par le vecteur vitesse moyenne entre l’instant $t$ et un instant $t^{\prime}$ suivant très proche. Soient $M$ et $M^{\prime}$ les positions du point matériel respectivement à $t$ et $t^{\prime}$.

• Le vecteur vitesse instantanée $\vec{v}$ à l’instant $t$ est porté par la droite tangente à la trajectoire en $M$.

Caractéristiques du vecteur $\vec{v}$  :

• origine : point $M$
• direction : tangente à la trajectoire en $M$
• sens : celui du mouvement
• valeur : vitesse instantanée du mobile au point $M$

Tracé des vecteurs vitesses

La représentation de ces vecteurs introduit la notion de tangente à une courbe.

Soient $M$ et $M^{\prime}$ des points sur la courbe $C$.
Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath})$, un point $M$ est repéré par ses coordonnées cartésiennes $(x ; y)$. Nous observons la position limite de la corde $MM^{\prime}$ quand le point $M^{\prime}$ se rapproche de $M$ et les variations de l’abscisse avec $\Delta t$.

• Pour tracer les vecteurs vitesses, il faut définir une échelle.

Exemple

Échelle :
$1\ \text{cm\ (repère)}\leftrightarrow10\ \text{cm\ (réalité)}$

Échelle de vitesse :
$1\ \text{cm\ (repère)}\leftrightarrow10\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}\ \text{(réalité)}$

Les vecteurs vitesses moyenne et instantanée nous donnent des indications sur la nature de la trajectoire. En effet, la direction et le sens du déplacement ainsi que la variation de la vitesse peuvent être utilisés afin de décrire un mouvement particulier tel que les mouvements rectilignes.

Sur la chronophotographie, la position du point matériel est repérée à intervalles de temps réguliers $\Delta t$.

Méthode :
On veut tracer le vecteur vitesse moyenne $\vec{v}_5$ entre les points $M_1$ et $M_5$.

• On mesure sur le schéma la distance séparant ces deux points.
• Connaissant l’échelle, on calcule la distance réelle $d$.
• On calcule $v_5 =\frac{d}{5\times \Delta t}$, qui est la norme du vecteur vitesse.
• On choisit une échelle pour tracer ce vecteur, par exemple : $1\ \text{cm}$ sur le schéma représente $5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.
• On trace le vecteur demandé d’origine $M_1$, de direction et sens $M_1$ vers $M_5$, et de longueur $l$.

Attention

Le vecteur vitesse moyenne $\vec{v}_{moy}$ ayant la direction $(MM^{\prime})$ représente la vitesse d’un mobile allant directement de $M$ vers $M^{\prime}$ en ligne droite !
Si le point $M^{\prime}$ est très proche de $M$ alors la droite $(MM^{\prime})$ est assimilable à la tangente à la trajectoire au point $M$.

Astuce

• Pour convertir en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ une vitesse donnée en $\text{km}\cdot\text{h}^{-1}$, il suffit de la diviser par $3,6$ :
  $$v(\text{m}\cdot\text{s}^{-1})=\dfrac{v(\text{km}\cdot\text{h}^{-1})}{3,6}$$
• Pour convertir en $\text{km}\cdot\text{h}^{-1}$ une vitesse donnée en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, il suffit de la multiplier par $3,6$ :
  $$v(\text{km}\cdot\text{h}^{-1})=v(\text{m}\cdot\text{s}^{-1}) \times 3,6$$

Le mouvement rectiligne et circulaire

Un point mobile est animé d’un mouvement rectiligne si sa trajectoire est une droite dans le référentiel utilisé. Le vecteur déplacement entre deux points $M_1$ et $M_2$ garde toujours la même direction (la droite).

Mouvement rectiligne uniforme

Définition

Mouvement uniforme :

Un mouvement est dit uniforme, si sa vitesse instantanée est constante au cours du temps et donc égale à sa vitesse moyenne :

$$v(t) = cste$$ et $$v(t) = v_{moy}$$

Définition

Mouvement rectiligne uniforme :

On en déduit que, pour un mouvement rectiligne uniforme, le vecteur vitesse est constant :

$$\vec{v}= \overrightarrow{cste}$$

$$\vec{v}_1=\vec{v}_2=\vec{v}_3$$

À retenir

Un vecteur est constant si sa direction, son sens et sa valeur ne varient pas au cours du temps.

Mouvement rectiligne varié

Définition

Mouvement rectiligne varié :

Un mouvement rectiligne d’un point mobile est dit varié si sa vitesse instantanée change au cours du temps.

• Il peut être accéléré si sa vitesse augmente.
• Il peut être ralenti si sa vitesse diminue.

Exemple

• Lors de la chute verticale d’un objet, le mouvement est rectiligne et accéléré.
• Un véhicule a un mouvement rectiligne uniforme. Le conducteur freine la vitesse diminue, le mouvement est rectiligne et ralenti.

Représentons un mouvement rectiligne accéléré, avec un mobile se déplaçant de $M_1$ vers $M_3$ avec une vitesse qui augmente.

$$v_1 < v_2 < v_3 \Longleftrightarrow ||\vec{v}_1|| < ||\vec{v}_2|| < ||\vec{v}_3||$$

Mouvement circulaire uniforme

Définition

Mouvement circulaire uniforme :

Un mouvement circulaire d’un point mobile est dit uniforme si sa vitesse instantanée est constante au cours du temps et si sa trajectoire dans le référentiel considéré est un cercle.

Mais même si sa vitesse est constante, sa direction ne l’est pas car elle est tangente à la trajectoire à chaque instant $t$.

• Cela veut dire qu’à chaque instant $t$ le vecteur vitesse prend une direction différente car, sur une telle trajectoire, le point mobile, subit une accélération.

La notion d’accélération sera abordée dans les classes supérieures.