Variation d’un vecteur vitesse : Fiche de révision de 2nde

Représentation et variation d’un vecteur vitesse

Déplacement d’un système

Dans un référentiel donné, la trajectoire d’un point est l’ensemble des positions successives occupées par ce point au cours du temps.
Un point mobile se déplace entre deux points $M$ et $M^{\prime}$, on définit donc le vecteur déplacement $\overrightarrow{MM^{\prime}}$ ayant les propriétés suivantes :
direction : droite $(MM^{\prime})$
sens du mouvement : origine $M$ et extrémité $M^{\prime}$
valeur (norme) : longueur du segment $[MM^{\prime}]$
Le vecteur déplacement définit donc le plus court chemin entre les points $M$ et $M^{\prime}$.

Un mobile qui se déplace, parcourt une distance notée $d$ (en $\text{m}$) entre les positions $M_1$ et $M_2$, pendant une durée $\Delta t$ (en $\text{s}$) aux temps $t_1$ et $t_2$.

$$v_{moy} =\dfrac{d}{\Delta t}$$

La vitesse instantanée $v(t)$ du mobile au point $M$, à la date $t$, peut-être approximée par la vitesse moyenne sur un intervalle de temps $\Delta t$ très court.

Le vecteur vitesse moyenne $\vec{v}_{moy}$, d’un point matériel, est définit entre les points $M$ à la date $t$ et $M^{\prime}$ à la date $t^{\prime}$.

$$\vec{v}_{moy} =\dfrac{\overrightarrow{MM^{\prime}}}{\Delta t}$$

Le vecteur vitesse moyenne et le vecteur déplacement sont donc colinéaires et de même sens.

Le vecteur vitesse instantanée $\vec{v}$, à un instant $t$, est approximé par le vecteur vitesse moyenne entre l’instant $t$ et un instant $t^{\prime}$ suivant très proche. Soient $M$ et $M^{\prime}$ les positions du point matériel respectivement à $t$ et $t^{\prime}$.
Le vecteur vitesse instantanée $\vec{v}$ à l’instant $t$ est porté par la droite tangente à la trajectoire en $M$.

Caractéristiques du vecteur $\vec{v}$ :

origine : point $M$
direction : tangente à la trajectoire en $M$
sens : celui du mouvement
valeur : vitesse instantanée du mobile au point $M$
La direction, le sens du déplacement ainsi que la variation de la vitesse peuvent être utilisés afin de décrire un mouvement particulier.

représentation et variation d’un vecteur vitesse tracé chronophotographie

Méthode :
On veut tracer le vecteur vitesse moyenne $\vec{v}_5$ entre les points $M_1$ et $M_5$.

On mesure sur le schéma la distance séparant ces deux points.
Connaissant l’échelle, on calcule la distance réelle $d$.
On calcule $v_5 =\frac{d}{5\times \Delta t}$, qui est la norme du vecteur vitesse.
On choisit une échelle pour tracer ce vecteur ($1\ \text{cm}$ sur le schéma représente $5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$).
On trace le vecteur demandé d’origine $M_1$, de direction et sens $M_1$ vers $M_5$, et de longueur $l$.

Un point mobile est animé d’un mouvement rectiligne si sa trajectoire est une droite dans le référentiel utilisé. Le vecteur déplacement entre deux points $M_1$ et $M_2$ garde toujours la même direction (la droite).
Mouvement rectiligne uniforme
Un mouvement est uniforme, si sa vitesse instantanée est constante au cours du temps et donc égale à sa vitesse moyenne :

$$v(t) = v_{moy}$$

$$\vec{v}= \overrightarrow{cste}$$

Un vecteur est constant si sa direction, son sens et sa valeur ne varient pas au cours du temps.
Mouvement rectiligne varié
Un mouvement rectiligne d’un point mobile est varié, si sa vitesse instantanée change au cours du temps.
Il peut être accéléré si sa vitesse augmente.
Il peut être ralenti si sa vitesse diminue.
Si un mouvement rectiligne est accéléré, avec un mobile qui se déplace de $M_1$ vers $M_3$ avec une vitesse qui augmente, alors : $$v_1 < v_2 < v_3 \Longleftrightarrow ||\vec{v}_1|| < ||\vec{v}_2|| < ||\vec{v}_3||$$

Un mouvement circulaire d’un point mobile est dit uniforme si sa vitesse instantanée est constante au cours du temps et si sa trajectoire dans le référentiel considéré est un cercle.
Sa direction n’est pas constante car elle est tangente à la trajectoire à chaque instant $t$.