Fiche de révision : Second degré

Fonction polynôme de degré 2

Définition :

Une fonction polynôme de degré $2$ est une fonction définie sur $R$ dont l’expression algébrique peut être mise sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$.

Les réels $a,b$ et $c$ sont appelés coefficients de la fonction polynôme.

Forme développée

L’expression $ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ est la forme développée d’une fonction polynôme du second degré appelée aussi trinôme du second degré.

Forme canonique

Propriété :

Toute fonction polynôme de degré $2$ de forme développée $ax^2+bx+c$ admet une écriture de la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$

où $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

Cette écriture est la forme canonique de la fonction polynôme.

Forme factorisée

Pour trouver la forme factorisée il faut obligatoirement calculer ce discriminant appelé aussi delta. Soit le trinôme $ax^2+bx+c$ $\Delta=b^2-4ac$

• Si $\Delta > 0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions distinctes : $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
• Si $\Delta=0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet une unique solution : $x_0=\dfrac{-b}{2a}$
• Si $\Delta<0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a pas de solution.

Propriété : factorisation du trinôme

Soit $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq0$, un trinôme du second degré.

• Si $\Delta > 0$ (discriminant du trinôme strictement positif), $f(x)=a(x-x_1 )(x-x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ sont les racines du trinôme.
• Si $\Delta = 0$ (discriminant nul), $f(x)=a(x-x_0)^2$ où $x_0$ est la racine du trinôme.
• Si $\Delta < 0$ (discriminant strictement négatif), alors $f(x)$ ne se factorise pas.

Résolution d’une inéquation du second degré

On considère le trinôme du second degré $ax^2+bx+c$

• Dans le cas où $\Delta > 0$ :

Le trinôme est du signe de a sur $]-\infty\ ;x_1 [$ et sur $]x_2;+\infty[$ et du signe contraire de a sur $]x_1\ ;x_2 [$.

Dans le cas où $\Delta=0$ :

Le trinôme est du signe de $a$ pour tout réel $x\neq x_0$ et le trinôme s’annule pour $x=x_0$.

• Dans le cas où $\Delta<0$ :

Pour tout réel $x$, le trinôme est du signe de $a$.