Fiche de révision : Simplification des expressions logiques

Simplification algébrique

• Écrivons l’équation à partir de la table de vérité :

$$S=\bar a\cdot b\cdot c+a\cdot \bar b\cdot c+a\cdot b\cdot \bar c+a\cdot b\cdot c$$

• Elle est sous sa forme canonique disjonctive.
• Nous cherchons donc à la simplifier. Dans le tableau suivant, nous indiquons chaque étape de la simplification et nous précisons la propriété appliquée.

• L’expression simplifiée est donc : $S=a\cdot b + a\cdot c+b\cdot c$.

Simplification par la méthode de Karnaugh

De la table de vérité au tableau de Karnaugh

• La méthode repose sur la propriété suivante : $a\cdot \red b+a\cdot \red {\bar b}=a$.
• Elle consiste à identifier tous les mintermes qui ne diffèrent que par l’état d’une seule variable.
• Si une fonction dépend de $n$ variables, il y aura au maximum $2^n$ mintermes. Nous les représentons dans un tableau de Karnaugh.
• Ce tableau est une table de vérité, à double entrée, qui présente tous les produits possibles entre les variables et leurs compléments. Un tel tableau comptera $2^n$ cellules :
• si le nombre de variables $n$ est pair, les lignes représenteront les valeurs des $\frac n2$ premières variables et les colonnes les $\frac n2$ variables restantes ;
• si le nombre de variables $n$ est impair, les lignes représenteront les valeurs des $\frac {n-1}2$ premières variables et les colonnes les $\frac {n+1}2$ variables restantes.
• Pour passer d’une table de vérité à un tableau de Karnaugh, il suffit d’écrire $1$ dans les cellules qui correspondent aux combinaisons ayant pour sortie $1$, et $0$ dans les cellules restantes.
• Pour montrer le principe, nous allons nous appuyer sur la table de vérité suivante :

• Nous obtenons le tableau de Karnaugh suivant :

Simplification à partir du tableau de Karnaugh

• Dans le tableau, nous regroupons les valeurs égales adjacentes par une puissance de $2$ ($1$, $2$, $4$, $8$, $16$, etc.).
• La dernière ligne est adjacente à la première, la dernière colonne est adjacente à la première colonne.
• Nous veillons à ce que toutes les valeurs égales appartiennent à un groupe.
• Un terme peut participer à plusieurs groupes (car $a + a = a$).
• Dans chaque groupe, nous supprimons la ou les variables qui changent d’état.
• Si un groupe contient un seul terme, nous ne pouvons évidemment supprimer aucune variable.
• Nous écrivons le produit des variables restantes, avec leurs valeurs dans le tableau.
• Nous faisons la somme de l’ensemble des termes ainsi obtenus.

• Nous constituons $3$ groupes de $2$ termes.
• Pour celui encadré en bleu, seul $a$ change de valeur : $b\cdot c$.
• Pour celui encadré en rouge, seul $b$ change de valeur : $a\cdot c$.
• Pour celui encadré en vert, seul $c$ change de valeur : $a\cdot b$.
• D’où l’équation logique : $S=a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c$.