Suites numériques
Une suite
Une suite
- Définition : une suite
Une suite numérique $u$ est une fonction définie sur $N$, à valeurs dans $R$.
$\begin{aligned} u :\mathbb N&\rightarrow \mathbb R\\ n&\rightarrow u(n)\ \text{aussi noté}\ u_n \end{aligned}$
Pour tout entier naturel $n$, le nombre $u_n$ est appelé terme de rang $n$ ou terme général de la suite. On note alors cette suite $(u_n )$.
Les différentes façons de définir une suite
Les différentes façons de définir une suite
- Suite définie par la formule explicite $u_n=f(n)$
- Une suite est définie par une formule explicite lorsque $u_n$ s'exprime directement en fonction de $n$. Dans ce cas, on peut calculer chaque terme à partir de son indice.
- Une suite numérique $(u_n )$ définie par une formule explicite se représente par un nuage de points de coordonnées $(n ; u_n )$.
- Suite définie par la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$
Une suite est définie par une relation de récurrence quand elle est définie par la donnée de :
- son premier terme ;
- une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent.
Le sens de variation d'une suite
Le sens de variation d'une suite
Définition : On dit qu'une suite (u_n ) définie sur N est :
- croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, on a $u_{n+1} \geq u_n$ ;
- décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, on a $u_{n+1} \leq u_n$ ;
- constante si et seulement si, pour tout entier naturel n, on a $u_{n+1}=u_n$.
Méthode :
Pour savoir si une suite est croissante ou décroissante, on étudie le signe de la différence entre deux termes consécutifs quelconques :
- Si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n\geq 0$, alors la suite $(u_n )$ est croissante ;
- Si, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-u_n\leq 0$, alors la suite $(u_n )$ est décroissante ;
- Si, pour tout entier naturel n, on a $u_{n+1}-u_n=0$, alors la suite $(u_n )$ est constante.
Propriété :
Lorsqu'une suite est définie par une formule explicite de la forme $u_n=f(n)$, il existe une autre méthode pour donner les variations de la suite.
Soit $u$ une suite définie pour tout entier $n\geq p$ par $u_n=f(n)$ où $f$ est une fonction définie sur l'intervalle $[p ; +\infty[.$
- Si la fonction f est croissante sur $[p ; +\infty[$ alors la suite $u$ est croissante à partir du rang $p$.
- Si la fonction $f$ est décroissante sur $[p ; +\infty[$ alors la suite $u$ est décroissante à partir du rang $p$.
Définition : limite d'une suite
On dit qu'une suite numérique $(u_n )$ admet une limite réelle $l$ si tous les termes de la suite $(u_n )$ sont proches de $l$ à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente vers $l$. On dit qu'une suite numérique $(u_n )$ est divergente si elle n'est pas convergente.