Cours : Temps et cinématique

Cinématique du point

Référentiel d’étude

Pour simplifier l’étude du mouvement d’un objet, on l’assimile à un point matériel qui est le centre d’inertie de cet objet.

Pour étudier le mouvement d’un objet, nous devons caractériser sa trajectoire, sa vitesse et son accélération à travers un référentiel.

Définition

Référentiel :

Un référentiel est un objet, ou un ensemble d’objets, par rapport auquel on définit le mouvement de l’objet étudié dans l’espace et dans le temps.

On associe à un référentiel :

• un repère d’espace (« un point de vue ») qui permet d’indiquer la position du point étudié ;
• un repère temporel (une horloge) qui permet de donner une date à chaque position du point étudié.

Nous distinguons trois grands référentiels.

• Si le référentiel a pour origine le centre de gravité de la Terre et que ces axes sont définis par rapport à trois étoiles lointaines supposées fixes, on parle de référentiel géocentrique. Il est utile par exemple pour décrire le mouvement de la Lune autour de la Terre.
• Si le référentiel à pour origine un point fixe, immobile par rapport à la surface de la Terre, on parle alors de référentiel terrestre. Par exemple un homme qui se tient debout sans bouger en un point de la Terre est immobile dans le référentiel terrestre, mais décrira un mouvement circulaire dans le référentiel géocentrique.
• Si le référentiel a pour origine le centre de gravité du Soleil et ses axes sont définis par rapport à trois étoiles lointaines considérées comme fixes, on parle alors de référentiel héliocentrique (ou de Kepler).

Pour décrire mathématiquement un mouvement on associe, au référentiel, un repère. Il est composé de plusieurs axes :

• dans un plan, il y a deux axes : l’abscisse et l’ordonnée.
• dans l’espace (en 3 dimensions), on ajoute aux deux précédents la cote.

Rappel

Un repère est le plus souvent orthogonal, ce qui signifie que les axes qui le composent sont perpendiculaires.
Alors qu’un repère orthonormé est à la fois orthogonal et normé (c’est-à-dire que les normes des vecteurs de la base sont égales).

Il existe une infinité de repères possibles que l’on peut associer à un référentiel.

Vecteur position

Définition

Vecteur position :

La position du point $M$ à l’instant $t$ est indiquée par le vecteur position $\overrightarrow {OM}$, avec $O$ l’origine du repère.

• La trajectoire du point $M$ est l’ensemble des positions successives occupées au cours de son mouvement.

Dans un repère orthonormé $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,)$, les composantes du vecteur $\overrightarrow {OM}$ en fonction du temps sont :

$$\overrightarrow{OM} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}$$

• $\overrightarrow{OM}=x(t)\cdot \vec \imath+ y(t)\cdot \vec \jmath + z(t)\cdot \vec k$

Ce vecteur est donc à tout moment variable.

Vecteur vitesse

La variation de la position du point en fonction du temps, nous permet de définir le vecteur vitesse. Pour rappel, la vitesse est le rapport d’une distance sur une durée.

Rappel

Un point se déplace et parcourt une distance $d$ pendant une durée $\Delta t$.
La vitesse moyenne $v_{moy}$ du point étudié entre les positions $M$ et $M^\prime$ aux dates $t$ et $t^\prime=t+\Delta t$ s’exprime ainsi :

$$v_{moy} =\dfrac{d}{\Delta t}$$

Le vecteur vitesse moyenne d’un point matériel est défini selon la relation suivante :
$$\vec v_{moy} =\dfrac{\overrightarrow{MM^\prime\ }}{\Delta t}$$

Le vecteur vitesse instantanée $\vec v$ à l'instant $t$ est approximé par le vecteur vitesse moyenne entre $t$ et un instant $t^\prime=t+\Delta t$ très proche, avec $M$ à la date $t$ et $M^\prime$ à la date $t^\prime$.

$$\begin{aligned} \vec v(t)&=\lim\limits_{\Delta t\to 0} \dfrac {\overrightarrow{MM^\prime\ }}{\Delta t}\\ &=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\dfrac{\overrightarrow{OM^\prime} - \overrightarrow{OM}}{\Delta t}\end{aligned}$$

À retenir

Le vecteur vitesse instantanée est donc égal à la dérivée du vecteur position par rapport au temps :

$$\vec v(t)=\dfrac{\text{d} \overrightarrow{OM\ }}{\text{d}t}$$

• Le vecteur vitesse $\vec v(t)$ est portée par la tangente à la trajectoire au point $M$ à la position $t$, et orienté dans le sens du mouvement.
• La valeur de $v(t)$ s’exprime en $\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

À retenir

Dans un repère orthonormé $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,)$, avec $\vec v(t) \begin{pmatrix} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \end{pmatrix}$, nous avons :

$$\begin{aligned} v(t)&=v_x(t)\cdot \vec \imath+ v_y(t)\cdot \vec \jmath+v_z(t)\cdot \vec k \\ &= x^{\prime}(t)\cdot \vec \imath+ y^{\prime}(t)\cdot \vec \jmath+z^{\prime}(t)\cdot \vec k \\ &=\dfrac{\text dx}{\text dt}\cdot \vec \imath+ \dfrac{\text dy}{\text dt}\cdot \vec \jmath+ \dfrac{\text dz}{\text dt}\cdot \vec k \end{aligned}$$

• La norme de la vitesse à un instant $t$ est $v(t)=\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2}$.

Comme le vecteur position, le vecteur vitesse peut varier.

Vecteur accélération

Maintenant nous allons définir la variation de la vitesse en fonction du temps d’un point $M$ en mouvement, grâce au vecteur accélération.

De manière analogue à ce que nous avons fait pour le vecteur vitesse instantanée, nous pouvons approximer le vecteur accélération instantanée à l’instant $t$ par la variation de vitesse entre $t$ et un instant $t^\prime$ très proche.

• Nous avons alors, avec $\vec v$ le vecteur vitesse instantanée à l’instant $t$, et $\overrightarrow{v^\prime\ }$ à l’instant $t^\prime=t+\Delta t$ :

$$\vec a(t)=\lim\limits_{\Delta t\to 0} \dfrac {\overrightarrow{v^\prime\ }-\vec v}{\Delta t}$$

À retenir

Le vecteur accélération instantanée est donc égal à la dérivée du vecteur vitesse instantanée par rapport au temps :

$$\vec a(t)=\dfrac {\text{d}\vec v}{\text{d}t}$$

Sa norme s’exprime en $\text{m} \cdot \text{s}^{-2}$.

À retenir

Dans un repère orthonormé $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k\,)$, avec $\vec a(t) \begin{pmatrix} a_x(t) \\ a_y(t) \\ a_z(t) \end{pmatrix}$, nous avons :

$$\begin{aligned} a(t)&=a_x(t)\cdot \vec \imath+ a_y(t)\cdot \vec \jmath+a_z(t)\cdot \vec k \\ &= v_x^{\prime}(t)\cdot \vec \imath+ v_y^{\prime}(t)\cdot \vec \jmath+v_z^{\prime}(t)\cdot \vec k \\ &=\dfrac{\text dv_x}{\text dt}\cdot \vec \imath+ \dfrac{\text dv_y}{\text dt}\cdot \vec \jmath+ \dfrac{\text dv_z}{\text dt}\cdot \vec k \end{aligned}$$

• La norme de l’accélération à un instant $t$ est $a(t)=\sqrt {{a_x}^2+{a_y}^2+{a_z}^2}$.

De plus, nous savons que le vecteur vitesse $\vec v$ est la dérivée par rapport au temps de $\overrightarrow{OM}$, alors nous pouvons dire que le vecteur accélération $\vec a$ est la dérivée seconde par rapport au temps du vecteur $\overrightarrow{OM}$, soit :

$$\begin{aligned} \vec a(t)&=\dfrac{\text d^2\,\overrightarrow{OM\ }}{\text dt^2} \\ &=\dfrac{\text d^2x}{\text dt^2}\cdot \vec \imath + \dfrac{\text d^2y}{\text dt^2} \cdot \vec \jmath+ \dfrac{\text d^2z}{\text dt^2} \cdot \vec k \end{aligned}$$

Exemples de mouvements

Mouvement rectiligne

Définition

Mouvement rectiligne :

Un mouvement est rectiligne lorsque sa trajectoire est une droite dans le référentiel utilisé.

Nous pouvons définir trois types de mouvement rectiligne, en fonction de l’accélération :

• Mouvement rectiligne uniforme
  Le vecteur vitesse $\stackrel {→}{v}$ est constant donc le vecteur accélération : $\stackrel {→}{a}$ est nul $\stackrel {→}{v}\cdot\stackrel {→}{a}\ =0$.

• Mouvement rectiligne uniformément accéléré
  Le vecteur vitesse $\stackrel {→}{v}$ augmente constamment donc le vecteur accélération $\stackrel {→}{a}$ est constant, $\stackrel {→}{a}$ et $\stackrel {→}{v}$ sont colinéaires et de même sens : $\stackrel {→}{v}\cdot \stackrel {→}{a}\ >0$.

• Mouvement rectiligne uniformément ralenti
  Le vecteur vitesse $\stackrel {→}{v}$diminue constamment donc le vecteur accélération $\stackrel {→}{a}$ est constant, $\stackrel {→}{a}$ et $\stackrel {→}{v}$ sont colinéaires et de sens opposés : $\stackrel {→}{v}\cdot\stackrel {→}{a}\ <0$.

Mouvement circulaire

Définition

Mouvement circulaire :

Un mouvement est circulaire si la trajectoire est un cercle dans le référentiel considéré.

Nous pouvons définir trois types de mouvement circulaire, en fonction de l’accélération :

• Mouvement circulaire uniforme
  Le vecteur vitesse $\stackrel {→}{v}$ varie mais sa valeur est constante et le vecteur accélération $\stackrel {→}{a}$ est perpendiculaire à celui-ci et dirigé vers le centre : $\stackrel {→}{v}\cdot \stackrel {→}{a}\ =0$.

• Mouvement circulaire uniformément accéléré
  La valeur du vecteur vitesse $\stackrel {→}{v}$ augmente constamment donc le vecteur accélération $\stackrel {→}{a}$ forme un angle aigu (< 90°) avec le vecteur vitesse et sa valeur est constante : $\stackrel {→}{v}\cdot\stackrel {→}{a}\ >0$.

• Mouvement circulaire uniformément ralenti
  La valeur du vecteur vitesse $\stackrel {→}{v}$ diminue constamment donc le vecteur accélération forme un angle obtu (> 90°) avec le vecteur vitesse et sa valeur est constante : $\stackrel {→}{v}\cdot\stackrel {→}{a}\ <0$.