Fiche de révision : Temps et cinématique

Cinématique du point

• On étudie le mouvement d’un objet par sa trajectoire et sa vitesse par rapport à un référentiel.
• Le vecteur position est le vecteur $\overrightarrow{OM}$ où $O$ est le centre du référentiel et $M$ la position de l’objet dont le mouvement est étudié.
• Le vecteur vitesse $\overrightarrow{v(t)}$ d’un point mobile à un instant t à une direction, la tangente à la trajectoire en ce point, un sens, celui du mouvement, et une valeur $v$ (en $\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$).
• Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps.
• Dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k})$, le vecteur vitesse peut s’écrire selon les trois composantes vectorielles :

$$\begin{aligned}\overrightarrow{v}(t)&=v_x(t)\cdot\overrightarrow{i} + v_y(t)\cdot\overrightarrow{j}+v_z(t)\cdot\overrightarrow{k}\\&=\dfrac{dx(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{i}+\dfrac{dy(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{j}+\dfrac{dz(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{k}\end{aligned}$$

• La valeur de la vitesse à un instant $t$ est $v(t)=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$
• Le vecteur accélération moyenne $\overrightarrow{a(t)}$ d’un point mobile à un instant t a une direction et un sens, identique à celui de $\overrightarrow{v}$, et une valeur $a=\dfrac{\Delta{\overrightarrow{v}}}{\Delta t}$ (en $\text{m}\cdot \text{s}^{-2}$).
• Ainsi, le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.
• Dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j} ; \overrightarrow{k})$, le vecteur accélération peut s’écrire selon les trois composantes vectorielles:

$$\begin{aligned}\overrightarrow{a}(t)&=a_x(t)\cdot\overrightarrow{i}+a_y(t)\cdot\overrightarrow{j}+a_z(t)\cdot\overrightarrow{k}\\&=\dfrac{dv_x(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{i}+\dfrac{dv_y(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{j}+\dfrac{dv_z(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{k}\end{aligned}$$

• La valeur de l’accélération à un instant t est $a(t)=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$

Exemples de mouvements

• Un mouvement est rectiligne lorsque sa trajectoire est une droite.
• Un mouvement est circulaire si la trajectoire est un cercle.
• Un mouvement est rectiligne ou circulaire uniforme si $\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{a}=0$
• Un mouvement est rectiligne ou circulaire uniformément accéléré si $\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{a}>0$
• Un mouvement est restiligne ou circulaire uniformément ralenti si $\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{a}<0$