La relativité du temps

Introduction :

Ce cours traite du temps et de la relativité restreinte.

Dans une première partie nous étudierons le postulat d’Einstein à l’origine de cette théorie. Dans un second temps nous traiterons des conséquences de ce postulat.

Postulat d’Einstein

Définition

Postulat :

Un postulat désigne un principe qui n’est pas démontré mais qui est utilisé dans une théorie.

Définition

Relativité :

Le terme relativité vient du fait que la vitesse d’un objet en mouvement dépend de celle de l’observateur (qui devient le centre d’un référentiel). On parle alors de mouvement relatif.

Exemple

Par exemple, dans un TGV roulant à $300\ \text{km}\cdot \text{h}^{-1}$ quelqu’un lance une bouteille d’eau.

S’il le fait dans le sens de la marche, une vache sur le bas-côté verra la bouteille partir à plus de $300\ \text{km} \cdot \text{h}^{-1}$ car il faut ajouter à la vitesse du TGV la vitesse initiale de la bouteille.

Dans le référentiel du passager en revanche, la bouteille s’éloigne beaucoup plus lentement, à quelques kilomètres par heure.

Cet exemple permet de comprendre que lorsqu’on parle de mouvement, tout est relatif, et qu’il faut bien penser à donner le référentiel dans lequel on effectue ses observations.

Invariance de la vitesse de la lumière

En appliquant la relativité du mouvement à la lumière, si un vaisseau pouvait voyager à la vitesse de la lumière, alors un passager de ce vaisseau aurait l’impression que la lumière est statique : inconcevable.

Cela a amené Einstein à émettre en 1905 un postulat qui a révolutionné la physique classique :

À retenir

La vitesse de la lumière dans le vide a la même valeur, quelles que soient les données de l’observation, $c = 3.10^8\ \text{m} \cdot \text{s}^{-1}$

Caractère relatif du temps

La vitesse de la lumière dans le vide est toujours la même, donc la distance parcourue et la durée du parcours doivent avoir le même rapport :

À retenir

$c = \dfrac {d}{t}$

Exemple

Si on imagine un tir LASER entre la Terre et la Lune, la distance parcourue par la lumière est plus importante pour le passager d’une navette spatiale (car la Terre et la lune sont en mouvement et vont s’éloigner de la navette) que pour un observateur sur Terre (origine de la lumière).

Comme la vitesse de la lumière est invariante, cela veut dire que pour l’observateur dans la navette le temps se dilate.

À retenir

Donc, le mouvement provoque un ralentissement du temps.

En fait, le temps est juste la mesure d’une horloge, donc une horloge en mouvement percevra un temps moins long.

Définition

Dilatation du temps :

Le temps s’écoule plus lentement pour un système en mouvement que pour un système fixe : c’est la dilatation du temps d’un système en mouvement. On dit que le temps est relatif.

À retenir

On parle de relativité restreinte car cette théorie est limitée aux objets en mouvement rectiligne uniforme.

Cette théorie a été prouvée expérimentalement grâce à des horloges atomiques et uniquement pour de très grandes vitesses.

Exemple

Par exemple, l’horloge d’un GPS retarde de $44\ \mu\text{s}$ par jour par rapport à la Terre, donc pour une mesure ultra-précise il faut tenir compte de ce retard.

Conséquence du postulat d’Einstein

Durée propre

Définition

Évènement :

Un évènement est un phénomène qui se produit en un point de l’espace et à un instant unique dans le temps.

Définition

Durée propre :

Une durée propre est l’intervalle de temps entre deux évènements dans un même lieu, elle se note $\Delta t_p$.

Exemple

Dans l’exemple du tir LASER de la Terre à la Lune, le temps entre l’émission LASER et sa réception est une durée propre car cela se produit dans le même lieu. Même si le LASER parcourt l’espace, l’émission à $t_0$ et la réception à $t_0 + \Delta t$ se fait au même endroit : la Terre.

Durée mesurée

Définition

Durée mesurée :

La durée mesurée est une notion spécifique à un observateur en mouvement par rapport aux évènements observés. Elle est notée $\Delta t_m$.

Exemple

Dans l’exemple du LASER, il s’agit de la durée mesurée par l’observateur à bord de la navette (donc en mouvement par rapport à l’événement émission-réception).

À retenir

La durée mesurée est proportionnelle à la durée propre par la relation : $\Delta t_m = \gamma \times \Delta t_p$

$\gamma$ est le coefficient de Lorentz : $\gamma =\dfrac{1}{\sqrt {1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$

$v$ est la vitesse de l’observateur et $c$ celle de la lumière dans le vide.

Comme $\gamma \geq 1$, alors $\Delta t_m \geq \Delta t_p$, ce qui corrobore ce qui a été dit précédemment.

Exemple

Prenons l’exemple d’un observateur à bord d’un satellite GPS en orbite autour de notre planète (on le nommera $O_S$). Il va à une vitesse $V_s = 3000\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$ constante du point de vue d’un observateur terrestre $O_T$.

Quelle sera la différence de temps perçue en une journée terrestre entre $O_T$ et $O_S$ ?

$O_T$ étant considéré comme immobile (puisqu’il est le référentiel), le temps qu’il perçoit est $\Delta tp = 24\ \text{h} \times 3600\ \text{s} = 86400\ \text{s}$

Pour $O_S$ (en mouvement) :

$\Delta t_m = \gamma \times \Delta t_p$

$\begin{aligned} \Delta t_m &= 86400 \times\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{3000^2}{300 000 000^2}}} \\ &= 86400,0000043\ \text{s}\end{aligned}$