Trigonométrie
Repérage sur le cercle trigonométrique
Repérage sur le cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique
Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$, le cercle trigonométrique est le cercle $C$ de centre $O$ et de rayon $1$ orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre appelé sens direct.
Le radian
Le radian
Propriété : Les mesures des angles en degrés d’une part et en radians d’autre part sont proportionnelles. On a le tableau de conversion suivant :
Degrés | $30$ | $45$ | $60$ | $90$ | $180$ | $360$ |
Radians | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $2\pi$ |
Mesure principale d’un angle
Mesure principale d’un angle
Définition :
Soit $M$ un point du cercle trigonométrique.
Le réel $x$ d’image $M$ est appelé mesure en radians de l’angle $\widehat{IOM}$.
Tous les réels ayant pour image $M$ sont aussi des mesures en radians de l’angle $\widehat{IOM}$. Toutes ces mesures sont de la forme $x+2k\pi$, où $k$ est un entier relatif.
Parmi toutes ces mesures, l’unique mesure qui appartient à l’intervalle $]-\pi \ ; \pi ]$ est appelée mesure principale de l’angle $\widehat{IOM}$.
Mesures d’un angle orienté
Mesures d’un angle orienté
Définition
Définition
Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls. Soit $M$ et $N$ deux points du cercle trigonométrique tels que $\vec u$ et $(\overrightarrow{OM})$, d’une part, et $\vec v$ et $(\overrightarrow{ON})$, d’autre part, soient colinéaires et de même sens.
Les mesures en radian de l’angle orienté $(\vec u,\vec v)$ sont les différences $y-x$, où $x$ et $y$ sont les réels associés respectivement aux points $M$ et $N$.
Propriétés des angles orientés
Propriétés des angles orientés
Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls. Dire que $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires revient à dire que la mesure principale de $(\vec u,\vec v)$ est égale à :
- $0$ ( $\vec u$ et $\vec v$ sont de même sens)
- $\pi$ ($\vec u$ et $\vec v$ sont de sens opposés).
Soient $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ trois vecteurs non nuls. On a : ($\vec u$,$\vec v$ )+($\vec v$,$\vec w$)=($\vec u$,$\vec w$ )+$2k\pi$
Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls.
- ($\vec v$,$\vec u$ )=-($\vec u$,$\vec v$ )$+2k\pi$
- (-$\vec u$,-$\vec v$ )=($\vec u$,$\vec v$ )$+2k\pi$
- (-$\vec u$,$\vec v$ )=($\vec u$,-$\vec v$ )=($\vec u$,$\vec v$ )+$\pi+2k\pi$
Cosinus et sinus d’un angle
Cosinus et sinus d’un angle
Cosinus et sinus d’un angle orienté
Cosinus et sinus d’un angle orienté
Le tableau suivant regroupe les valeurs particulières des cosinus et sinus :
$a$ | $0$ | $\dfrac{\pi}6$ | $\dfrac{\pi}4$ | $\dfrac{\pi}3$ | $\dfrac{\pi}2$ |
$\cos a$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt 3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
$\sin a$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt 3}{2}$ | $1$ |
Propriétés du cosinus et du sinus :
- Pour tout nombre réel $a$∶
$-1\leq \cos a \leq1$ et $-1\leq \sin a \leq1$
- Pour tout nombre réel $a$ :
$\cos^2 a+\sin^2 a=1$
- Le cosinus et le sinus d’un angle orienté sont le cosinus et le sinus d’une quelconque de ses mesures.
Cosinus et sinus d’angles associés
Cosinus et sinus d’angles associés
Définition : On dit que des angles orientés sont « associés » s’ils admettent des cosinus ou des sinus égaux ou opposés.
Formules à retenir :
$\cos (-t)=\cos t$
$\sin (-t)=-\sin t$
$\cos (\pi-t)=-\cos t$
$\sin (\pi-t)=\sin t$
$\cos (\pi+t)=-\cos t$
$\sin\ (\pi+t)=-\sin t$
$\cos (\frac\pi2-t)=\sin t$
$\sin(\frac\pi2-t)=\cos t$
$\cos(\frac\pi2+t)=-\sin t$
$\sin(\frac\pi2+t)=\cos t$
Formules d’addition et de duplication
Formules d’addition et de duplication
Formules d’addition : Quels que soient les réels $a$ et $b$ :
$\begin{array}{l} \cos(a-b) =\cos a \cos b +\sin a \sin b \\ \cos (a+b) =\cos a \cos b -\sin a \sin b \\ \sin (a-b) =\sin a \cos b -\cos a \sin b \\ \sin (a+b) =\sin a \cos b +\cos a \sin b \end{array}$
Formules de duplication :
Quel que soit le réel $a$ :
$\begin{array}{l} \begin{aligned} \cos (2a)&=\cos ^2\ a -\sin^2 a \\ &=2\cos^2\ a -1\\&=1-2\sin^2 a \\ \end{aligned} \\ \sin (2a) =2\sin a \cos a \end{array}$
Équations trigonométriques
Équations trigonométriques
Définitions:
Soit un réel $a$. Les solutions dans $R$ de l’équation $\cos x=\cos a$ sont les réels $a+2k\pi$ et $-a+2k\pi$, où $k$ est un entier relatif.
Soit un réel $a$. Les solutions dans $R$ de l’équation $\sin x = \sin a$ sont les réels $a+2k\pi$ et $\pi - a+2k\pi$, où $k$ est un entier relatif.