Trigonométrie

Repérage sur le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,I,J)$, le cercle trigonométrique est le cercle $C$ de centre $O$ et de rayon $1$ orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre appelé sens direct.

Le radian

Propriété : Les mesures des angles en degrés d’une part et en radians d’autre part sont proportionnelles. On a le tableau de conversion suivant :

Degrés $30$ $45$ $60$ $90$ $180$ $360$
Radians $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{\pi}{4}$ $\dfrac{\pi}{3}$ $\dfrac{\pi}{2}$ $\pi$ $2\pi$

Mesure principale d’un angle

Définition :

Soit $M$ un point du cercle trigonométrique.

Le réel $x$ d’image $M$ est appelé mesure en radians de l’angle $\widehat{IOM}$.

Tous les réels ayant pour image $M$ sont aussi des mesures en radians de l’angle $\widehat{IOM}$. Toutes ces mesures sont de la forme $x+2k\pi$, où $k$ est un entier relatif.

Parmi toutes ces mesures, l’unique mesure qui appartient à l’intervalle $]-\pi \ ; \pi ]$ est appelée mesure principale de l’angle $\widehat{IOM}$.

Mesures d’un angle orienté

Définition

Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls. Soit $M$ et $N$ deux points du cercle trigonométrique tels que $\vec u$ et $(\overrightarrow{OM})$, d’une part, et $\vec v$ et $(\overrightarrow{ON})$, d’autre part, soient colinéaires et de même sens.

Les mesures en radian de l’angle orienté $(\vec u,\vec v)$ sont les différences $y-x$, où $x$ et $y$ sont les réels associés respectivement aux points $M$ et $N$.

Propriétés des angles orientés

Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls. Dire que $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires revient à dire que la mesure principale de $(\vec u,\vec v)$ est égale à :

  • $0$ ( $\vec u$ et $\vec v$ sont de même sens)
  • $\pi$ ($\vec u$ et $\vec v$ sont de sens opposés).

Soient $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ trois vecteurs non nuls. On a : ($\vec u$,$\vec v$ )+($\vec v$,$\vec w$)=($\vec u$,$\vec w$ )+$2k\pi$

Cette propriété s’appelle relation de Chasles.

Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls.

  • ($\vec v$,$\vec u$ )=-($\vec u$,$\vec v$ )$+2k\pi$
  • (-$\vec u$,-$\vec v$ )=($\vec u$,$\vec v$ )$+2k\pi$
  • (-$\vec u$,$\vec v$ )=($\vec u$,-$\vec v$ )=($\vec u$,$\vec v$ )+$\pi+2k\pi$

Cosinus et sinus d’un angle

Cosinus et sinus d’un angle orienté

Le tableau suivant regroupe les valeurs particulières des cosinus et sinus :

$a$ $0$ $\dfrac{\pi}6$ $\dfrac{\pi}4$ $\dfrac{\pi}3$ $\dfrac{\pi}2$
$\cos a$ $1$ $\dfrac{\sqrt 3}{2}$ $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ $\dfrac{1}{2}$ $0$
$\sin a$ $0$ $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{\sqrt 2}{2}$ $\dfrac{\sqrt 3}{2}$ $1$

Propriétés du cosinus et du sinus :

  • Pour tout nombre réel $a$∶

$-1\leq \cos a \leq1$ et $-1\leq \sin a \leq1$

  • Pour tout nombre réel $a$ :

$\cos^2 a+\sin^2 a=1$

  • Le cosinus et le sinus d’un angle orienté sont le cosinus et le sinus d’une quelconque de ses mesures.

Cosinus et sinus d’angles associés

Définition : On dit que des angles orientés sont « associés » s’ils admettent des cosinus ou des sinus égaux ou opposés.

Formules à retenir :

$\cos (-t)=\cos t$
$\sin (-t)=-\sin t$
$\cos (\pi-t)=-\cos t$
$\sin (\pi-t)=\sin t$
$\cos (\pi+t)=-\cos t$

$\sin\ (\pi+t)=-\sin t$
$\cos (\frac\pi2-t)=\sin t$
$\sin(\frac\pi2-t)=\cos t$
$\cos(\frac\pi2+t)=-\sin t$
$\sin(\frac\pi2+t)=\cos t$

Formules d’addition et de duplication

Formules d’addition : Quels que soient les réels $a$ et $b$ :

$\begin{array}{l} \cos(a-b) =\cos a \cos b +\sin a \sin b \\ \cos (a+b) =\cos a \cos b -\sin a \sin b \\ \sin (a-b) =\sin a \cos b -\cos a \sin b \\ \sin (a+b) =\sin a \cos b +\cos a \sin b \end{array}$

Formules de duplication :

Quel que soit le réel $a$ :

$\begin{array}{l} \begin{aligned} \cos (2a)&=\cos ^2\ a -\sin^2 a \\ &=2\cos^2\ a -1\\&=1-2\sin^2 a \\ \end{aligned} \\ \sin (2a) =2\sin a \cos a \end{array}$

Équations trigonométriques

Définitions:

Soit un réel $a$. Les solutions dans $R$ de l’équation $\cos x=\cos a$ sont les réels $a+2k\pi$ et $-a+2k\pi$, où $k$ est un entier relatif.

Soit un réel $a$. Les solutions dans $R$ de l’équation $\sin x = \sin a$ sont les réels $a+2k\pi$ et $\pi - a+2k\pi$, où $k$ est un entier relatif.