Cours : Trigonométrie dans un triangle rectangle

Prérequis :

• cours de 4^esur le théorème de Pythagore.

Rappel

Théorème de Pythagore (et réciproque) :

• Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
• Réciproquement, si, dans un triangle, le carré de la longueur d’un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.

Rapports trigonométriques

Vocabulaire et notations

Avant d’entrer dans le vif du sujet, commençons par préciser les termes et les notations que nous utiliserons dans ce cours.

On considère un triangle $ABC$ rectangle en $B$ :

Dans ce triangle :

• les côtés $\textcolor{#009900}{[AB]}$ et $\blue{[BC]}$ forment l’angle droit ;
• le troisième côté $\red{[AC]}$ est l’hypoténuse ;
• on s’intéresse plus particulièrement aux angles aigus du triangle rectangle, c’est-à-dire aux deux angles qui ne sont pas droits (ils sont donc strictement compris entre $0\degree$ et $90\degree$), et on notera :
• $\textcolor{#009900}{\widehat A}$ l’angle $\widehat{B\textcolor{#009900}AC}$,
• $\blue{\widehat C}$ l’angle $\widehat{A\blue CB}$ ;
• on appellera côté adjacent à un angle le côté qui le forme et qui n’est pas l’hypoténuse, ainsi :
• $\textcolor{#009900}{[AB]}$ est le côté adjacent à l’angle $\textcolor{#009900}{\widehat A}$,
• $\blue{[BC]}$ est le côté adjacent à l’angle $\blue{\widehat C}$ ;
• et on appellera côté opposé à un angle l’autre côté qui forme l’angle droit, ainsi :
• $\blue{[BC]}$ est le côté opposé à l’angle $\textcolor{#009900}{\widehat A}$,
• $\textcolor{#009900}{[AB]}$ est le côté opposé à l’angle $\blue{\widehat C}$.

Définition et propriétés

En quatrième, nous avons vu que, dans un triangle rectangle en $B$, le rapport $\dfrac{AB}{AC}$ ne dépendait que de la mesure de l’angle aigu $\widehat A$. Nous avions ensuite défini le cosinus de l’angle $\widehat A$ comme égal à ce rapport.
Nous allons ici compléter cette propriété-définition.

Propriété

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$, les rapports $\dfrac{AB}{AC}$, $\dfrac{BC}{AC}$ et $\dfrac{BC}{AB}$ ne dépendent que de la mesure de l’angle aigu $\widehat A$.

• Ces rapports, dits trigonométriques, sont respectivement appelés cosinus, sinus et tangente de l’angle $\widehat A$.
• Et ils sont respectivement notés $\cos \widehat A$, $\sin \widehat A$ et $\tan\widehat A$ (on peut aussi mettre l’angle entre parenthèses).

On a alors :

$$\begin{aligned} \cos \widehat A&=\dfrac{\textcolor{#009900}{AB}}{\red{AC}}=\dfrac{\textcolor{#009900}{\text{longueur du côté adjacent}}}{\red{\text{longueur de l’hypoténuse}}} \\ \\ \sin \widehat A&=\dfrac{\blue{BC}}{\red{AC}}=\dfrac{\blue{\text{longueur du côté opposé}}}{\red{\text{longueur de l’hypoténuse}}} \\ \\ \tan \widehat A&=\dfrac{\blue{BC}}{\textcolor{#009900}{AB}}=\dfrac{\blue{\text{longueur du côté opposé}}}{\textcolor{#009900}{\text{longueur du côté adjacent}}} \end{aligned}$$

Astuce

Pour retrouver les formules pour calculer les rapports trigonométriques, on peut se souvenir de l’expression (qui ressemble à une incantation rituelle) :

$$\text{S\blue O\red H C\textcolor{#009900}A\red H T\blue O\textcolor{#009900}A}$$

$$\bold S\text{inus}=\dfrac{\blue{\bold O\text{pposé}}}{\red{\bold H\text{ypoténuse}}} \qquad \bold C\text{osinus}=\dfrac{\textcolor{#009900}{\bold A\text{djacent}}}{\red{\bold H\text{ypoténuse}}}\qquad \bold T\text{angente}=\dfrac{\blue{\bold O\text{pposé}}}{\textcolor{#009900}{\bold A\text{djacent}}}$$

Ou, de manière plus familière, en se souvenant de l’expression proche de « Casse-toi » :

$$\text{C\textcolor{#009900}A\red H S\blue O\red H T\blue O\textcolor{#009900}A}$$

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est toujours le côté plus long. On a alors les propriétés suivantes.

Propriété

Le cosinus et le sinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle est strictement compris entre $0$ et $1$.
Sa tangente, elle, est un nombre strictement positif.

On peut aussi retenir les propriétés suivantes, bien utiles dans certaines situations. (Nous les admettons cette année, mais leurs démonstrations sont assez simples, comme vous le verrez en seconde.)

Propriété

• Quel que soit l’angle aigu $\widehat A$, on a :

$$(\cos \widehat A)^2+(\sin \widehat A)^2=1$$

• Quel que soit l’angle aigu $\widehat A$, on a aussi, pour la tangente :

$$\tan \widehat A=\dfrac{\sin \widehat A}{\cos \widehat A}$$

À retenir

Pour calculer le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle donné, on utilise les fonctions dédiées de la calculatrice, en étant sûr qu’elle est bien paramétrée en degré : cos / sin / tan

On écrit ensuite la mesure de l’angle.

• Si cette mesure est donnée par une opération, on veillera à bien mettre des parenthèses autour.

Astuce

On peut se souvenir de ces trois valeurs remarquables, qui permettront le cas échéant de ne pas faire appel à la calculatrice :

$$\cos{(60\degree)}=\dfrac 12\qquad \sin{(30\degree)}=\dfrac 12 \qquad \tan{(45\degree)}=1$$

Les rapports trigonométriques permettent de calculer des longueurs, ou de déterminer des mesures d’angles. C’est ce que nous allons voir dans les deux parties suivantes.

Calculer des longueurs grâce aux rapports trigonométriques

Méthode

Dans un triangle, nous savons, grâce au théorème de Pythagore, calculer la longueur d’un côté si nous connaissons la longueur des deux autres.
Les rapports trigonométriques permettent, eux, de déterminer la longueur d’un côté en connaissant la longueur d’un seul côté et la mesure d’un angle aigu.

Astuce

Ainsi, dans les exercices, ayez les réflexes suivants si on vous demande de calculer une longueur dans un triangle rectangle.

• Vous connaissez la longueur de deux côtés ?
• Théorème de Pythagore.
• Vous connaissez la longueur d’un côté et la mesure d’un angle ?
• Rapports trigonométriques.

Donnons donc une méthode pour le cas où l’on souhaite utiliser les rapports trigonométriques.

À retenir

Méthode : Comment calculer des longueurs grâce aux rapports trigonométriques

Tout d’abord, on s’assure qu’on travaille bien dans un triangle rectangle.
Puis on identifie les grandeurs qui sont connues : quel est le côté dont on connaît la longueur, quel est l’angle dont on connaît la mesure, de quel côté cherche-t-on la longueur ?
En fonction de ces données, on choisit le rapport trigonométrique qui nous intéresse, où figurent la longueur connue et la longueur recherchée. Par exemple :

• on connaît la longueur de l’hypoténuse et on souhaite calculer la longueur du côté opposé à l’angle connu ?
• on utilise le sinus, car on se souvient du SOH : « Sinus (égale) Opposé (sur) Hypoténuse » ;
• on connaît la longueur du côté opposé et on cherche la longueur du côté adjacent à l’angle connu ?
• on utilise la tangente, car TOA : « Tangente (égale) Opposé (sur) Adjacent.

Enfin, en utilisant les produits en croix et la calculatrice, on détermine la longueur recherchée.

Exemple

On considère le triangle $PHO$ rectangle en $H$ représenté ci-dessous :

Triangle PHO rectangle en H

• On cherche la longueur du côté $[PO]$.

On connaît donc la mesure de l’angle $\widehat P$, ainsi que la longueur du côté adjacent. Et $[PO]$ est l’hypoténuse du triangle rectangle.

• On pense au CAH : Cosinus (égale) Adjacent (sur) Hypoténuse.

On a alors :

$$\begin{aligned} \cos \widehat P&=\dfrac{\textcolor{#009900}{PH}}{\red{PO}} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Soit\ :\ }} \cos{(60\degree)}&=\dfrac 1{PO} \\ \end{aligned}$$

On peut se souvenir ici de la valeur remarquable du cosinus d’un angle de $60\degree$, que nous avons mentionnée dans la première partie, avant de se servir des produits en croix :

$$\begin{aligned} \dfrac 12&=\dfrac 1{PO} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ :\ }}PO&=\boxed{2\ \text{m}} \end{aligned}$$

Astuce

Dans cet exemple, on peut aussi calculer la longueur de $[HO]$.

• Si une valeur approchée nous suffit, par exemple au centimètre près, on peut par exemple utiliser la tangente de l’angle $\widehat P$ et se servir d’une calculatrice :

$$\begin{aligned} \tan\widehat P&=\dfrac{\blue{HO}}{\textcolor{#009900}{PH}} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ :\ }}HO&=PH\times \tan \widehat P \\ &=1\times \tan{(60\degree)} \\ &=\tan{(60\degree)} \\ &\approx \boxed{1,73\ \text{m}} \end{aligned}$$

• Si on souhaite donner la valeur exacte de $HO$, et comme on a une valeur exacte pour $PO=2\ \text{m}$, on peut se servir du théorème de Pythagore qui, appliqué dans le triangle $PHO$ rectangle en $H$, donne :

$$\begin{aligned} PH^2+HO^2&=PO^2 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ :\ }} HO^2&=PO^2-PH^2 \\ &=2^2-1^2 \\ &=4-1 \\ &=3 \end{aligned}$$

$HO$ est une longueur, donc positive, et on obtient :

$$HO=\boxed{\sqrt{3}}\approx 1,73$$

• Allons encore un peu plus loin : des deux égalités que nous avons vues, on peut déduire la valeur exacte de la tangente d’un angle de $60\degree$ :

$$HO=\boxed{\tan{(60\degree)}=\sqrt{3}}$$

On a de plus : $\sin\widehat P=\dfrac{HO}{PO}$.

• On trouve ainsi :

$$\boxed{\sin{(60\degree)}=\dfrac{\sqrt{3}}2}$$

On connaît maintenant les valeurs exactes des cosinus, sinus et tangente d’un angle de $60\degree$ :

$$\cos{(60\degree)}=\dfrac 12\qquad \sin{(60\degree)}=\dfrac{\sqrt{3}}2\qquad \tan{(60\degree)}=\sqrt{3}$$

Petit exercice pour approfondir, si vous voulez : toujours à partir de ce triangle, montrer que :

$$\begin{aligned} \cos{(30\degree)}&=\sin{(60\degree)}=\dfrac{\sqrt{3}}2 \\ \sin{(30\degree)}&=\cos{(60\degree)}=\dfrac 12 \\ \end{aligned}$$

Toutes ces valeurs que nous venons de donner font partie des valeurs remarquables que certains auront à connaître au lycée. (Oui, on prend un peu d’avance… Elles ne sont pas exigibles au collège.)

Application

Voyons maintenant comment appliquer ce que nous venons d’apprendre à un cas concret, avec un exercice corrigé adapté d’un sujet de brevet (Nouvelle-Calédonie, 2015).

Énoncé

L’entrée d’une librairie est surélevée par rapport au trottoir, de $30\ \text{cm}$. Pour augmenter l’accessibilité du magasin, la libraire décide d’ajouter une rampe d’accès. Celle-ci, pour respecter les normes et limiter la pente à monter ou descendre, formera un angle de $3\degree$ par rapport à la rue (que nous considérons horizontale).
On représente la situation par le schéma suivant, qui n’est pas à l’échelle :

Ainsi :

• $POL$ est un triangle rectangle en $O$ ;
• $OP=30\ \text{cm}$ ;
• l’angle $\widehat L$ mesure $3\degree$.

Calculer la longueur $OL$, arrondie au centimètre près, pour savoir où doit commencer la rampe.

Corrigé

$POL$ est un triangle rectangle en $O$. Et on connaît la mesure de $\widehat L$, ainsi que la longueur $OP$, soit celle du côté opposé. Et on veut connaître la longueur de $[OL]$, qui est le côté adjacent. On se servira donc de la tangente de l’angle $\widehat L$ :

$$\begin{aligned} \tan \widehat L&=\dfrac{OP}{OL} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ :\ }} OL&=\dfrac{OP}{\tan \widehat L} =\dfrac{30}{\tan{(3\degree)}} \approx 572,43\ \text{cm} \\ \end{aligned}$$

On va ici arrondir par excès et donner comme réponse $573\ \text{cm}$, car, avec une longueur de $572\ \text{cm}$, on aurait un angle légèrement plus grand que les $3\degree$ voulus par les normes que s’est fixées la libraire.

• La longueur $PO$ doit donc être égale à $5,73\ \text{m}$.

Déterminer des mesures d’angles grâce aux rapports trigonométriques

Méthode

À retenir

Méthode : Comment déterminer des mesures d’angles grâce aux rapports trigonométriques

Tout d’abord, on s’assure qu’on travaille bien dans un triangle rectangle.
Ensuite, à partir de l’angle dont on cherche la mesure, on repère quelle longueur sont connues. Et on choisit en conséquence le rapport à utiliser :

• on connaît les longueurs du côté adjacent à l’angle et de l’hypoténuse ?
• on calcule le cosinus ;
• on connaît les longueurs du côté opposé à l’angle et de l’hypoténuse ?
• on calcule le sinus ;
• on connaît les longueurs des côtés adjacent et opposé à l’angle ?
• on calcule la tangente.

Puis, connaissant la valeur du rapport, pour obtenir la mesure de l’angle, on utilise les fonctions dédiées de la calculatrice :

• $\purple{\arccos}$, si on a le cosinus ;
• $\purple{\arcsin}$, si on a le sinus ;
• $\purple{\arctan}$, si on a la tangente.

Pour accéder à ces fonctions, on appuiera successivement sur les touches indiquées dans le tableau suivant :

	TI	Casio	Numworks
$\purple{\arccos}$	2nde et cos	SECONDE et cos	shift et cos
$\purple{\arcsin}$	2nde et sin	SECONDE et sin	shift et sin
$\purple{\arctan}$	2nde et tan	SECONDE et tan	shift et tan

• Si la valeur du rapport calculé n’est pas un nombre décimal, on entrera dans la calculatrice le quotient (entre parenthèses), plutôt que la valeur approchée, pour ne pas ajouter encore de l’approximation au résultat final.

Exemple

On considère le triangle $POT$ rectangle en $O$ représenté ci-dessous :

Triangle POT rectangle en O

• On cherche à déterminer la mesure, au degrès près, de l’angle $\widehat T$.

Les longueurs ici connues sont celles de $\blue{[PO]}$, qui est le côté opposé à $\textcolor{#009900}{\widehat T}$, et $\red{[TP]}$, qui est l’hypoténuse du triangle rectangle.

• On pense donc au sinus de $\widehat T$ :

$$\sin\widehat T=\dfrac{\blue{PO}}{\red{TP}}=\dfrac 69=\dfrac 23$$

$\frac 23$ n’est pas un nombre décimal, on entre donc dans la calculatrice :

$$\purple{\arcsin(2\div 3)}$$

• Elle nous renvoie la valeur, arrondie au degré près, de la mesure de $\widehat T$ :

$$\widehat T\approx \boxed{42\degree}$$

Application

Énoncé

On pose contre un mur vertical et perpendiculaire au sol une échelle de $13\ \text{m}$ de long, et ses pieds sont posés à $5\ \text{m}$ du mur.

• À quelle hauteur du mur repose-t-elle ?

Le constructeur de l’échelle recommande, pour assurer la sécurité de l’utilisateur, un angle entre le sol et l’échelle compris entre $65\degree$ et $75\degree$.

• Avec l’échelle posée selon les conditions données plus haut, la situation respecte-t-elle la recommandation de sécurité ?

Corrigé

• Hauteur de l’échelle

Astuce

La première chose à faire dans un tel exercice, où aucune représentation n’est donnée, est de tracer un schéma au brouillon, même à « main levée » et sans souci d’échelle, pour bien comprendre la situation et identifier les propriétés que l’on pourra utiliser.
On fait aussi bien attention au contenu de l’énoncé : ici, il est précisé que le mur est non seulement vertical, mais surtout perpendiculaire au sol, il y aura donc un angle droit à marquer.

On voit que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, $[BC]$ étant donc l’hypoténuse, et que la hauteur recherchée est la longueur du segment $[AC]$.
De plus, du triangle $ABC$, on connaît la longueur de deux côtés : pour calculer la longueur du troisième, on utilise donc le théorème de Pythagore :

$$\begin{aligned} AB^2+AC^2&=BC^2 \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’où\ :\ }} AC^2&=BC^2-AB^2 \\ &=13^2-5^2 \\ &=169-25 \\ &=144 \end{aligned}$$

$AC$ étant une longueur, et reconnaissant en $144$ un carré parfait (celui de $12$), on obtient :

$$AC=\sqrt{144}=\sqrt{12^2}=\boxed{12}$$

• L’échelle repose sur le mur à une hauteur de $12\ \text{m}$ au-dessus du sol.
• Mesure de l’angle formé par l’échelle et le sol

On cherche donc à savoir si la mesure de l’angle entre le sol et l’échelle est comprise entre $65\degree$ et $75\degree$.

Pour déterminer la mesure d’un angle dans un triangle rectangle, on pense immédiatement aux rapports trigonométriques. Ici, on a les longueurs des trois côtés, on a donc l’embarras du choix… Pour le plaisir, nous donnons ci-dessous le calcul via les trois rapports : nous trouverons bien sûr le même résultat (sinon, il faudra s’inquiéter…).

• Avec le cosinus :

$$\cos\widehat B=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac 5{13}$$

En entrant dans la calculette : $\purple{\arccos(5\div 13)}$, on trouve, arrondi au dixième près :

$$\widehat B\approx \boxed{67,4\degree}$$

• Avec le sinus :

$$\sin\widehat B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac {12}{13}$$

En entrant dans la calculette : $\purple{\arcsin(12\div 13)}$, on trouve, arrondi au dixième près :

$$\widehat B\approx \boxed{67,4\degree}$$

• Avec la tangente :

$$\tan\widehat B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac {12}5=2,4$$

En entrant dans la calculette : $\purple{\arctan 2.4}$, on trouve, arrondi au dixième près :

$$\widehat B\approx \boxed{67,4\degree}$$

Ainsi, dans la configuration donnée, l’échelle et le sol forment un angle d’environ $67,4\degree$, qui est compris entre les $65\degree$ et $75\degree$ préconisés par le constructeur.

• L’échelle respecte alors la recommandation de sécurité.