Nombres entiers : multiples, diviseurs et nombres premiers
Introduction :
L’ensemble des nombres entiers est le premier ensemble de nombres qui a été utilisé : il y a presque vingt mille ans, il servait déjà à compter les individus, les objets ou les animaux.
Nous allons découvrir quelles sont les propriétés de cet ensemble : nous étudierons dans un premier temps les entiers naturels et relatifs, puis le rapport entre divisibilité et parité, et enfin ce que sont les nombres premiers et quelle est leur utilité.
Les entiers naturels et les entiers relatifs
Les entiers naturels et les entiers relatifs
L’ensemble des entiers naturels
L’ensemble des entiers naturels
Définition
Ensemble des entiers naturels :
Un nombre entier naturel est un nombre entier positif.
- L’ensemble des entiers naturels est noté : $\mathbb N$.
$$\mathbb N =\lbrace 0\ ;\, 1\ ;\, 2\ ;\, …\rbrace$$
Propriété
- L’ensemble $\mathbb N$ n’a pas de fin : il y a un nombre infini d’entiers naturels.
- En effet, si ce n’était pas le cas, il y aurait un plus grand nombre, mais, comme on pourrait lui ajouter $1$, alors il y en aurait un plus grand. Ce serait donc une contradiction.
- L’ensemble des nombres entiers comporte un plus petit élément qui est $0$, mais n’a pas de plus grand élément.
L’ensemble des entiers relatifs
L’ensemble des entiers relatifs
Définition
Ensemble des entiers relatifs :
Un nombre entier relatif est un nombre entier positif ou négatif.
- L’ensemble des entiers relatifs est noté : $\mathbb Z$.
$$\mathbb Z =\lbrace …\ ;\, -2\ ;\, -1\ ;\, 0\ ;\, 1\ ;\, 2\ ;\, …\rbrace$$
Propriété
- Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs.
- $\mathbb N$ est inclus dans $\mathbb Z$ : $\mathbb N \subset \mathbb Z$.
- Le nombre d’entiers relatifs est infini et leur ensemble n’a pas de plus petit élément ni de plus grand élément.
Le schéma ci-dessous représente l’inclusion de l’ensemble des entiers naturels dans celui des entiers relatifs.
Inclusion des nombres entiers dans les nombres relatifs
Multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs
Multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs
Les diviseurs et multiples d’un entier
Les diviseurs et multiples d’un entier
Définition
Multiple et diviseur d’un nombre entier :
Soit $a$ et $b$ deux entiers relatifs.
Si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul, autrement dit, s’il existe un entier $k$ tel que : $a=k\times b$, alors :
- $a$ est un multiple de $b$ ;
- $b$ est un diviseur de $a$.
- On dit aussi que $a$ est divisible par $b$.
À retenir
Réciproquement, si $a$ est un multiple de $b$ (ou si $b$ est un diviseur de $a$), alors il existe un entier relatif $k$ tel que : $a=k\times b$.
Exemple
Nous avons : $35=7\times 5$.
- $35$ est un multiple de $7$, car $35=7\times k$, avec $k=5$.
- Et $7$ est un diviseur de $35$.
Nous avons : $108=6\times 18$.
- $108$ est un multiple de $18$, car $108=18\times k$, avec $k=6$.
- Et $18$ est un diviseur de $108$.
Propriété
Un nombre entier possède un nombre fini de diviseurs, mais un nombre infini de multiples.
Propriété
La somme de deux multiples d’un nombre $a$ est un multiple de $a$.
Démonstration
Soit $a$ un entier relatif non nul.
Soit $b$ et $c$ deux multiples de $a$.
$b$ est un multiple de $a$.
- Il existe donc un entier relatif $p$ tel que : $b=p\times a$.
$c$ est un multiple de $a$.
- Il existe donc un entier relatif $q$ tel que : $c=q\times a$.
Nous obtenons :
$$\begin{aligned} b+c&=(p\times a)+(q\times a) \\ &=a\times (p+q) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en factorisant par $a$]}}} \\ &=a\times k \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en posant $k=p+q$]}}} \end{aligned}$$
Comme somme de deux entiers, $k=p+q$ est aussi un entier.
Il existe donc un entier relatif $k$ tel que : $b+c=k\times a$.
- $b+c$ est donc un multiple de $a$.
Les critères de divisibilité
Les critères de divisibilité
Pour déterminer si un entier relatif $a$ est divisible par un entier relatif $b$, on peut toujours effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$ et regarder si le reste est égal à $0$.
Il existe cependant quelques règles qui permettent de reconnaître rapidement les entiers relatifs divisibles par $2$, $3$, $4$, $5$, $9$ et $10$.
- Un nombre entier est divisible par $2$ si et seulement si son chiffre des unités est pair : $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$.
- Un nombre entier est divisible par $3$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $3$.
- Un nombre entier est divisible par $4$ si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par $4$.
- Un nombre entier est divisible par $5$ si et seulement si son chiffre des unités est $0$ ou $5$.
- Un nombre entier est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par $9$.
- Un nombre entier est divisible par $10$ si et seulement si son chiffre des unités est $0$.
Exemple
$102$ est divisible par :
- $2$, car il se termine par $2$ ;
- $3$, car la somme de ses chiffres $1+0+2=3$ est divisible par $3$.
Le nombre $120$ est divisible par :
- $2$, car il se termine par $0$ ;
- $3$, car la somme de ses chiffres $1+2+0=3$ est divisible par $3$ ;
- $4$, car $20$ est divisible par $4$ ;
- $5$, car il se termine par $0$ ;
- $10$, car il se termine par $0$.
Le nombre $2\,034$ est divisible par :
- $2$, car il se termine par $4$ ;
- $3$, car la somme de ses chiffres $2+0+3+4=9$ est divisible par $3$ ;
- $9$, car la somme de ses chiffres est aussi divisible par $9$.
Les nombres pairs et impairs
Les nombres pairs et impairs
Définition
Nombres pairs et impairs :
- Les nombres entiers pairs sont les nombres divisibles par $2$, soit les multiples de $2$.
- Les nombres entiers impairs sont les nombres qui ne sont pas divisibles par $2$.
Propriété
- Comme tout nombre pair est un multiple de $2$, $a$ est pair si et seulement si le reste de la division euclidienne de $a$ par $2$ est nul.
- Autrement dit : $a$ est pair si et seulement si il existe un entier relatif $k$ tel que : $a=2k$.
- Comme tout nombre impair n’est pas divisible par $2$, $a$ est impair si et seulement si le reste de la division euclidienne de $a$ par $2$ est égal à $1$.
- Autrement dit : $a$ est impair si et seulement si il existe un entier relatif $k$ tel que : $a=2k+1$.
Exemple
$336=2\times 168$.
- $336$ est pair, car $336=2\times k$, avec $k=168$.
$521=520+1=2\times 260+1$.
- $521$ est impair car $521=2k+1$, avec $k=260$.
Nous avons aussi : $0=2\times 0$.
$0$ est un nombre relatif, donc $0$ est pair.
- Remarquons qu’on considère que $0$ est un multiple de tous les entiers, car, pour tout entier relatif $a$ : $0=a\times 0$.
- En revanche, $0$ n’est un diviseur d’aucun nombre entier.
La parité de la somme de deux nombres entiers suit le principe donné par le tableau suivant.
| Parité du premier nombre | Parité du second nombre | Parité de la somme |
| Pair | Pair | Pair |
| Pair | Impair | Impair |
| Impair | Pair | Impair |
| Impair | Impair | Pair |
La parité du produit de deux nombres entiers suit le principe donné par le tableau suivant.
| Parité du premier nombre | Parité du second nombre | Parité du produit |
| Pair | Pair | Pair |
| Pair | Impair | Pair |
| Impair | Pair | Pair |
| Impair | Impair | Impair |
Propriété
Le carré d’un nombre impair est impair.
Démonstration
Soit $a$ un entier relatif impair.
Comme $a$ est impair, il existe un entier relatif $k$ tel que : $a=2k+1$.
Nous avons donc :
$$\begin{aligned} a^2&=(2k+1)^2 \\ &=(2k)^2+2\times 2k\times 1+1^2 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$]}}} \\ &=4k^2+4k+1 \\ &=2\times (2k^2+2k)+1 \\ &=2\times k^{\prime} +1 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en posant $k^{\prime}=2k^2+2k$]}}} \end{aligned}$$
Comme produit et somme de nombres entiers, $k^{\prime}$ est aussi un nombre entier.
Il existe donc un entier relatif $k^{\prime}$ tel que : $a^2=2k^{\prime}+1$.
- $a^2$ est donc aussi un nombre impair.
Les nombres premiers
Les nombres premiers
Dans l’ensemble des entiers naturels, une place est particulière faite aux nombres premiers, et ce depuis l’Antiquité. Nous allons voir maintenant comment les reconnaître et étudier quelques-unes de leurs propriétés.
- Dans cette partie, nous travaillerons dans l’ensemble des entiers naturels $\mathbb N$.
Nous ne considérerons pas les diviseurs négatifs d’un nombre.
Définition
Définition
Définition
Nombre premier :
Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même.
Un nombre premier a donc exactement deux diviseurs distincts.
- $0$ a tous les nombres comme diviseurs.
- $1$ n’a que lui-même comme diviseur.
- $0$ et $1$ ne sont pas premiers.
- $2$ a exactement deux diviseurs : $1$ et $2$.
- $2$ est un nombre premier.
- $2$ est le seul nombre pair qui est premier.
Tous les nombres premiers strictement supérieurs à $2$ sont impairs. (Mais, bien sûr, tous les nombres impairs ne sont pas premiers.)
Exemple
- $3$, $5$, $7$ sont des nombres premiers.
- $9$ n’est pas un nombre premier, car il a trois diviseurs : $1$, $3$ et $9$.
- $37$ est un nombre premier, car seuls $1$ et $37$ sont des diviseurs de $37$.
À retenir
Il est utile de connaître les nombres premiers inférieurs à $100$.
- Nous les donnons dans le tableau ci-dessous.
| $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ |
| $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ |
| $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ |
| $53$ | $59$ | $61$ | $67$ | $71$ |
| $73$ | $79$ | $83$ | $89$ | $97$ |
Méthode de reconnaissance des nombres premiers
Méthode de reconnaissance des nombres premiers
Pour montrer qu’un nombre est premier, nous allons nous servir de la propriété suivante, que nous admettons.
Propriété
Soit $n$ un nombre entier naturel strictement supérieur à $1$.
Si $n$ n’admet aucun diviseur premier inférieur à $\sqrt n$, alors $n$ est un nombre premier.
Exemple
Regardons si le nombre $157$ est un nombre premier.
Nous voulons savoir si le nombre $157$ est premier.
Nous testons alors la divisibilité de $157$ par tous les nombres premiers inférieurs à $\sqrt{157}\approx 12,5$
- Il y a : $2$, $3$, $5$ ; $7$ et $11$.
- En utilisant les critères de divisibilité, nous prouvons que $157$ n’est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$.
- Testons la divisibilité par $7$ : la division euclidienne de $157$ par $7$ donne :
$$157=7\times22+3$$
- Le reste n’est pas nul, donc $157$ n’est pas divisible par $7$.
- Testons la divisibilité par $11$ :
$$157=11 \times14+3$$
- Le reste n’est pas nul, donc $157$ n’est pas divisible par $11$.
- Ainsi, $157$ n’est divisible par aucun des nombres premiers inférieurs à $\sqrt{157}$.
- En utilisant la propriété ci-dessus, nous avons donc prouvé que $157$ est un nombre premier.
Décomposition des nombres entiers
Décomposition des nombres entiers
Propriété
Tout entier naturel non premier (et strictement supérieur à $1$) peut s’écrire sous la forme d’un produit de nombres premiers.
- On dit alors qu’il est décomposé en produit de facteurs premiers et cette décomposition est unique.
À travers un exemple, nous allons donner une méthode pour décomposer un nombre non premier en produit de facteurs premiers.
Exemple
Nous voulons décomposer $5\,355$ en produit de facteurs premiers. (Il n’est pas premier, puisque nous voyons immédiatement qu’il est au moins divisible par $5$.)
Pour cela :
- nous allons regarder si $5\,355$ est divisible par les nombres premiers de manière croissante :
- si ce n’est pas le cas, nous testerons avec le nombre premier suivant ;
- si c’est le cas, nous effectuerons la division euclidienne et obtiendrons le quotient correspondant,
- dans ce dernier cas, nous testerons la divisibilité de ce quotient par le même nombre premier et, comme à l’étape précédente, nous effectuerons la division ou testerons avec le nombre premier suivant ;
- et ainsi de suite jusqu’à obtenir un quotient égal à $1$.
Commençons donc.
- $5\,355$ est impair, il n’est donc pas divisible par $2$.
- Nous testons sa divisibilité par le nombre premier suivant : $3$.
$5+3+5+5=18$ est un multiple de $3$. Donc $5\,355$ est divisible par $3$.
- La division euclidienne de $5\,355$ par $3$ donne :
$$5\, 355 =3\times1\,785$$
- Testons la divisibilité de $1\,785$ de nouveau par $3$.
$1+7+8+5=21$ est un multiple de $3$. $1\,785$ est donc divisible par $3$.
- La division euclidienne de $1\,785$ par $3$ donne :
$$1\,785=3\times595$$
- $595$ n’est pas divisible par $3$, mais il est divisible par $5$.
- La division euclidienne de $595$ par $5$ donne :
$$595=5\times 119$$
- $119$ n’est pas divisible par $5$, mais il est divisible par $7$.
- La division euclidienne de $119$ par $7$ donne :
$$119=7\times 17$$
- $17$ n’est pas divisible par $7$, ni par $11$, ni par $13$, mais il est divisible par $17$.
- Le division euclidienne de $17$ par $17$ donne :
$$17=17\times 1$$
- Nous sommes arrivés à un quotient égal à $1$.
- Nous pouvons nous arrêter.
Pour schématiser ces divisions successives, nous pouvons les noter dans un tableau.
| Quotient | Division par |
| $5\,355$ | $3$ |
| $1\,785$ | $3$ |
| $595$ | $5$ |
| $119$ | $7$ |
| $17$ | $17$ |
| $1$ |
- Nous lisons donc dans la colonne de droite la décomposition de $5\,355$ en produit de facteurs premiers :
$$5\,355= 3\times 3\times5\times7\times17$$
Astuce
Parfois, la décomposition peut être assez évidente et on peut la faire rapidement :
$$\begin{aligned} 99&=9\times 11 \\ &=3\times 3\times 11 \\ \\ 300&=3\times 100 \\ &=3\times 4\times 25 \\ &=3\times 2\times 2\times 5\times 5 \\ &=2\times 2\times 3\times 5\times 5 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [c’est mieux de les ranger par ordre croissant]}}} \end{aligned}$$
Simplification des fractions
Simplification des fractions
La décomposition des entiers naturels en produits de facteurs de nombres premiers permet de simplifier les fractions pour obtenir des fractions irréductibles.
On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis on simplifie jusqu’à ce qu’ils soient composés de facteurs premiers différents.
Exemple
Soit la fraction $\frac{270}{36}$.
Servons-nous de la méthode donnée précédemment pour décomposer en produit de facteurs premiers $270$ et $36$.
- Nous pouvons cette fois mettre directement les résultats des divisions dans un tableau.
| Quotient | Division par |
| $270$ | $2$ |
| $135$ | $3$ |
| $45$ | $3$ |
| $15$ | $3$ |
| $5$ | $5$ |
| $1$ |
$$\boxed{270=2\times 3\times3\times3\times5}$$
| Quotient | Division par |
| $36$ | $2$ |
| $18$ | $2$ |
| $9$ | $3$ |
| $3$ | $3$ |
| $1$ |
$$\boxed{36=2\times 2\times3\times3}$$
- Nous obtenons ainsi :
$$\begin{aligned} \dfrac{270}{36}&=\dfrac {\green 2\times \green 3\times \green 3\times 3\times 5}{\green 2\times 2\times \green 3\times \green 3} \\ &=\dfrac {3\times 5}2 \\ &=\dfrac {15}2 \end{aligned}$$
Conclusion :
Revoir les ensembles des entiers naturels et des entiers relatifs, avant de définir les multiples et les diviseurs d’un nombre entier nous a permis d’aborder les nombres premiers.
Ceux-ci ont une place fondamentale en recherche mathématique, car les grands nombres premiers ont de nombreuses applications, par exemple en cryptographie.