Fiche de révision : Variable aléatoire et loi de probabilité

Variable aléatoire et loi de probabilité

• Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs résultats possibles et qu’on ne peut pas prévoir celui qui sera obtenu. Le résultat d’une telle expérience est uniquement dû au hasard.
• Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire est appelé issue de cette expérience.
• L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire s’appelle l’univers de l’expérience.
• Un événement de cette expérience est un sous-ensemble de son univers.
• Un événement élémentaire de cette expérience est un événement contenant une seule issue.
• On considère une expérience aléatoire dont l’univers est un ensemble fini noté $\Omega$.
• Une variable aléatoire $X$ est une fonction définie sur $\Omega$ à valeurs dans $\mathbb R$.
• Soit $X$ une variable aléatoire discrète sur $\Omega$ qui prend les valeurs $x_1,\,x_2,\,…\ ,\,x_k$. *Définir la loi de probabilité de $X$, c’est donner les valeurs de probabilités $p(X=x_i)$ pour tout entier $i$, avec $1\leq i\leq k$.
• On présente en général une loi de probabilité sous forme d’un tableau :

• Dans ce tableau :

$$\displaystyle\sum_{i=1}^{k} p(X=x_i)=1$$

Indicateurs d’une variable aléatoire

• L’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est le réel noté $E(X)$ défini par :

$$\begin{aligned} E(X)&=x_1\times p_1+x_2\times p_2+…+x_k\times p_k \\ &=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}x_ip_i \end{aligned}$$

• L’espérance d’une variable aléatoire $X$ s’interprète comme la valeur moyenne prise par $X$ lorsqu’on répète un très grand nombre de fois l’expérience.
• $\Omega$ est l’ensemble des issues d’un jeu de hasard. $X$ est la variable aléatoire définie sur $\Omega$ qui est égale au gain du joueur.
• Dire que ce jeu est équitable signifie que $E(X)=0$.
• La variance de la variable aléatoire $X$ est le réel positif noté $V(X)$ défini par :

$$\begin{aligned} V(X)&=p_1×\big(x_1-E(X)\big)^2+p_2×\big(x_2-E(X)\big)^2+…+p_k×\big(x_k-E(X)\big)^2 \\ &=\displaystyle\sum^{k}_{i=1}p_i\big(x_i-E(X)\big)^2 \end{aligned}$$

• L’écart-type $\sigma(X)$ est défini comme la racine carrée de la variance :

$$\sigma(X)= \sqrt{V(X)}$$

• La variance et l’écart-type mesurent la dispersion des valeurs prises par $X$ autour de $E(X)$.
• Plus la variance et l’écart-type sont grands, plus les valeurs sont dispersées.