Cours : Vergence, image, grandissement et relation de conjugaison

Lentilles optiques

Les lentilles se séparent en deux catégories, les lentilles convergentes et les lentilles divergentes, selon la manière dont elles vont agir sur un faisceau lumineux parallèle.

Définition

Lentille optique :

Une lentille est un composant fabriqué dans un matériau transparent et isotrope (c’est-à-dire pour lequel les propriétés physiques sont les mêmes quelle que soit la direction), conçu pour faire diverger ou converger la lumière.

Définition

Axe et centre optiques :

• L’axe optique d’une lentille est la droite normale à la surface de la lentille passant par le centre de cette lentille.
• Le point d’intersection $O$ de cet axe et de la lentille est appelé le centre optique.

Nous étudierons ici les lentilles minces, c’est-à-dire les lentilles dont l’épaisseur est faible devant le rayon de courbure de la surface : les lois que nous allons voir dans ce cours devront être généralisées pour prendre en compte l’épaisseur de la lentille dans le cas d’une lentille épaisse.

Lentilles convergentes

Les lentilles convergentes sont les lentilles les plus usitées dans les systèmes optiques, aussi allons-nous les introduire en premier.

Définition

Lentille convergente :

Une lentille est dite convergente si, à la traversée de cette lentille, un faisceau lumineux parallèle à l’axe optique converge vers un point situé sur cet axe, nommé foyer image noté $F^\prime$.

Définition

Foyer image :

Le foyer image d’une lentille convergente est le point placé sur l’axe optique en lequel se concentrent les rayons émergents d’une lentille éclairée par un rayonnement parallèle à l’axe optique. Pour une lentille convergente, il se situe toujours après la lentille.

Définition

Foyer objet :

Le foyer objet $F$ est le point placé sur l’axe optique symétrique du foyer image par rapport au centre $O$ de la lentille.

• Une lentille convergente est convexe, c’est-à-dire qu’elle est bombée vers l’extérieur.

Schématiquement, on représente une lentille convergente par une double flèche pointant orientée vers l’extérieur et coupant l’axe optique à angle droit. On note $O$ le centre de la lentille.

Lentilles divergentes

Les lentilles divergentes sont elles aussi usitées, notamment dans la réalisation de lunettes de vue pour des personnes souffrant de myopie.

Définition

Lentille divergente :

Une lentille est dite divergente si, à la traversée de cette lentille, un faisceau lumineux parallèle à l’axe optique diverge vers l’infini depuis un point apparemment situé avant la lentille appelé foyer image noté $F^\prime$.

À retenir

Les définitions de « foyer image » et « foyer objet » vues plus haut s’appliquent également aux lentilles divergentes, à ceci près que le foyer image est, pour une lentille divergente, le point d’où semblent diverger les rayons émergents de la lentille et est donc toujours situé avant la lentille.

• Une lentille divergente est concave, c’est-à-dire qu’elle est bombée vers l’intérieur.

Schématiquement, on représente une lentille divergente par une double flèche orientée vers l’intérieur et coupant l’axe optique à angle droit. On note $O$ le centre de la lentille.

Tracer l’image d’un objet

Les rayons lumineux se propagent en ligne droite. Nous pouvons géométriquement construire leur propagation au travers d’une lentille et déterminer la position d’une image.

La construction d’image par une lentille divergente n’étant pas au programme, nous étudierons ici uniquement la construction d’image par une lentille convergente.

Rayons particuliers

À retenir

Pour tracer l’image d’un objet, il y a trois rayons de référence à retenir, dont on connaît la déviation.

• Les rayons qui passent par le centre optique ne subissent aucune déviation ; pour les représenter, il suffit de prolonger le rayon incident.

Rayons passant par le centre optique

• Les rayons incidents parallèles à l’axe optique donnent des rayons émergents dirigés vers le foyer image $F^\prime$.

Rayons incidents parallèles à l’axe optique

• Les rayons émergents parallèles à l’axe optique sont issus de rayons incidents qui passent par le foyer objet $F$.

Rayons émergents parallèles à l’axe optique

Image réelle et image virtuelle

Définition

Image réelle :

Une image est dite réelle si elle est projetable sur un écran.
C’est le cas lorsque les rayons convergent vers un point d’intersection situé après la lentille. L’image est alors obtenue après la lentille.
L’image donnée par une lentille convergente est réelle si l’objet est situé avant le foyer objet.

À retenir

Une image réelle est toujours inversée, c’est-à-dire qu’elle dans le sens contraire de l’objet.

Définition

Image virtuelle :

Une image est dite virtuelle si elle n’est pas projetable sur un écran.
C’est le cas lorsque les rayons divergent depuis un point d’intersection situé avant la lentille et l’image est alors obtenue avant la lentille.
L’image donnée par une lentille convergente est virtuelle si l’objet est situé après le foyer objet.
L’image donnée par une lentille divergente est toujours virtuelle.

À retenir

Une image virtuelle est toujours droite, c’est-à-dire qu’elle est dans le même sens que l’objet.

Construire une image

Pour construire l’image $A^\prime B^\prime$ d’un objet $AB$ – $A$ étant situé sur l’axe optique et $[AB]$ étant perpendiculaire à l’axe optique –, on construit au moins deux de ces trois rayons de référence.

• Si ces rayons convergent vers un même point d’intersection situé après la lentille, ils convergent en l’image $B^\prime$ de $B$ et on obtient l’image $A^\prime$ de $A$ en projetant ce point $B^\prime$ sur l’axe optique. L’image ainsi obtenue est réelle.

• Si ces rayons ne convergent pas vers un même point d’intersection situé après la lentille, on les prolonge au-devant de la lentille, ils semblent alors diverger depuis un même point qui est l’image $B^\prime$ de $B$ et on obtient l’image $A^\prime$ de $A$ en projetant ce point $B^\prime$ sur l’axe optique. L’image ainsi obtenue est virtuelle.

Relation de conjugaison

Nous avons vu comment construire géométriquement l’image $A^\prime B^\prime$ d’un objet $AB$ par une lentille. Mais la position d’une image peut être déterminée simplement par calcul pour peu que l’on connaisse les paramètres de la lentille.

Distance focale et vergence

L’axe optique est dit normé : il est dirigé depuis la source lumineuse jusqu’à après la lentille, et les distances sont notées avec une barre au-dessus ($\overline{OF^\prime}$ par exemple). Toute distance mesurée dans le sens de propagation de la lumière est comptée comme positive et toute distance mesurée dans le sens inverse de la propagation de la lumière est comptée comme négative.

• Cette longueur à laquelle on affecte un signe est la mesure algébrique.

Définition

Distance focale :

On appelle distance focale, notée $f^\prime$ et exprimée en mètre ($\text{m}$), la mesure algébrique de la distance entre le centre optique et le foyer image :

$$f^\prime=\overline{OF^\prime}$$

À retenir

• Pour une lentille convergente, le foyer image est placé après la lentille, donc : $f^\prime>0$.

Distance focale d’une lentille convergente

• Pour une lentille divergente, le foyer image est placé avant la lentille, donc : $f^\prime<0$.

Distance focale d’une lentille divergente

La distance focale image permet de déterminer la vergence de la lentille. C’est ce que mesurent les ophtalmologues et les opticiens pour déterminer la correction nécessaire en cas de troubles de la vision.

Définition

Vergence :

On appelle vergence, notée $C$ et exprimé en dioptrie ($\delta$), l’inverse de la distance focale exprimée en mètres :

$$C=\dfrac{1}{f^\prime}$$

Celle-ci exprime la capacité d’une lentille à faire converger les faisceaux lumineux qu’elle reçoit.

À retenir

Par définition :

• pour une lentille convergente, $C>0$ ;
• pour une lentille divergente, $C<0$.

Exemple

Une lentille divergente de distance focale $f^\prime=-10\ \text{cm}$ (correction pour une myopie sévère) possède une vergence de $-10\ \delta$.

• C’est le nombre annoncé dans les ordonnances pour les lunettes.

Grandissement et relation de conjugaison

Les distances et tailles obéissent à des rapports particuliers. On peut remarquer que ceux-ci découlent du théorème de Thalès.

Définition

Grandissement :

On appelle grandissement, noté $\gamma$, le rapport, sans dimension et sans unité :

$$\begin{aligned} \gamma&=\dfrac{\overline{A^\prime B^\prime}}{\overline{AB}} \\ &=\dfrac{\overline{OA^\prime}}{\overline{OA}} \end{aligned}$$

Avec :

• $A$ sur l’axe optique ;
• $[AB]$ perpendiculaire à l’axe optique.

En optique, le grandissement linéaire (aussi appelé grandissement latéral ou transversal) est le rapport de la taille d'une image sur la taille de l’objet (mesurées toutes deux dans des plans perpendiculaires à l’axe optique). Ainsi :

• si $\vert\gamma\vert > 1$, l’image est plus grande que l’objet ;
• si $\vert\gamma\vert < 1$, l’image est plus petite que l’objet ;
• si $\gamma>0$, l’image est droite ;
• si $\gamma<0$, l’image est renversée.

À retenir

La relation de conjugaison permet de déterminer la position de l’image d’un objet quand la position de l’objet et la distance focale de la lentille sont connues.
Si le point $A^\prime$ est l’image d’un point objet $A$ par une lentille de centre optique $O$ et de foyer image $F^\prime$, alors la relation de conjugaison donne :

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{\overline{OA^\prime}}-\dfrac{1}{\overline{OA}}&=\dfrac{1}{\overline{OF^\prime}} \\ &=\dfrac{1}{f^\prime} \\ &=C \end{aligned}$$

Avec :

• $f^\prime$ la distance focale ;
• $C$ la vergence.