Cours : Calculer la vitesse et l'énergie cinétique

La vitesse

La vitesse moyenne

Un objet en mouvement peut être caractérisé par sa trajectoire, c’est-à-dire l’ensemble des positions occupées par l’objet durant son déplacement, et par sa vitesse.

Définition

Vitesse :

La vitesse d’un corps en mouvement est le rapport entre la distance parcourue et le temps mis pour l’effectuer. Soit : $$v = \dfrac{d}{t}$$ Avec :

• $v$ la valeur de la vitesse, exprimée en mètre par seconde ($\text{m/s}$) ;
• $d$ la distance parcourue mesurée en mètre ($\text{m}$) ;
• $t$ l’intervalle de temps mesuré en seconde ($\text{s}$).

On souhaite connaître la vitesse d’un coureur olympique pendant l’épreuve du $200\ \text{m}$. Le chronomètre indique qu’il a franchi la ligne d’arrivée au bout de $20\ \text{s}$.

Si on applique la formule de la vitesse $v = \frac{d}{t}$, on a :

• $d=200\ \text{m}$, la distance de la course ;
• $t=20\ \text{s}$, la durée du parcours.

Soit $v = \frac{200}{20}=10\ \text{m/s}$
La vitesse du coureur est donc de $10\ \text{m/s}$.

Attention

Cette formule permet de déterminer la vitesse moyenne sur l’ensemble d’un déplacement ou sur un segment donné, elle ne rend pas compte des variations éventuelles de la vitesse. En effet, au cours d’un mouvement, la vitesse de l’objet peut changer.

Lorsque la vitesse d’un objet est constante, son mouvement est uniforme et inversement, lorsqu’un objet présente un mouvement uniforme, on peut dire que sa vitesse est constante. Pour le vérifier, on peut mesurer à intervalle de temps réguliers la distance parcourue : le mouvement est uniforme et la vitesse constante si la distance est toujours la même entre chaque mesure.

La vitesse en un point

En un point donné, la vitesse peut être représentée par un segment fléché appelé vecteur vitesse.

À retenir

Le vecteur vitesse est caractérisé par trois données :

• sa direction ;
• son sens ;
• sa longueur.

La longueur du segment fléché est proportionnelle à la vitesse de l’objet.
La direction et le sens de la flèche dépendent de la trajectoire du mouvement.

Exemple

Deux voitures suivent la même trajectoire mais roulent à des vitesses différentes.
On peut représenter leur vitesse par deux flèches de même direction, de même sens mais de longueurs différentes.
Sur l’image ci-dessous, nous voyons par la longueur des segments que la voiture B va plus vite que la voiture A.

À retenir

Si le mouvement étudié n’est pas rectiligne, les segments fléchés seront tangents à sa trajectoire.

Connaître la vitesse d’un objet permet donc d’estimer son déplacement dans un temps donné.

Cela permet de réaliser par exemple des simulations pour calculer la trajectoire d’une fusée après son décollage.

La vitesse d’un objet en mouvement a une influence sur l’énergie accumulée par l’objet, appelée énergie cinétique.

L’énergie cinétique

Définition

Lorsqu’un objet est en mouvement il accumule de l’énergie cinétique.

Définition

Énergie cinétique :

L’énergie cinétique est l’énergie d’un objet en mouvement, elle dépend de sa vitesse et de sa masse.
Elle se calcule avec la formule : $$E_c=\frac12 m \times v^2$$ Avec :

• $E_c$ l’énergie cinétique, exprimée en joule ($\text{J}$) ;
• $m$ la masse de l’objet en mouvement en kilogramme ($\text{kg}$) ;
• $v$ la vitesse de déplacement de l’objet, calculée en mètre par seconde ($\text{m/s}$).

• C’est l’énergie cinétique qui fait qu’un objet mis en mouvement ne s’arrête pas instantanément même s’il n’y a plus d’accélération.

Application

Voyons maintenant comment calculer l’énergie cinétique d’une voiture en mouvement :

Une voiture pèse $900\ \text{kg}$ et se déplace à $45\ \text{km/h}$ puis à $90\ \text{km/h}$. On a :

• $m=900\ \text{kg}$, la masse de la voiture ;
• $v_1=45\ \text{km/h}$, la vitesse 1 de la voiture ;
• $v_2=90\ \text{km/h}$, la vitesse 2 de la voiture.

Attention

Il faut d’abord convertir la vitesse en $\text{m/s}$ pour pouvoir calculer l’énergie cinétique.

• Pour convertir des $\text{km/h}$ en $\text{m/s}$, on divise la valeur en $\text{km/h}$ par $3,6$.

$$\begin{aligned} v_1&=\dfrac{45}{3,6} \\ v_1&=12,5\ \text{m/s} \end{aligned}$$

On a donc :

$$\begin{aligned} Ec_1&= \dfrac12 \times 900 \times 12,5^2 \\ Ec_1&= 450 \times 156,25 \\ Ec_1&= 70\ 312,5\ \text{J} \end{aligned}$$

En revanche, pour la même voiture roulant à $v_2=90\ \text{km/h}$ :

$$\begin{aligned} v_2&=\dfrac{90}{3,6} \\ v_2&=25\ \text{m/s} \end{aligned}$$

Soit une énergie cinétique égale à :

$$\begin{aligned} Ec_2&= \dfrac12 \times 900 \times 25^2 \\ Ec_2&= 450 \times 625 \\ Ec_2&= 281\ 250\ \text{J} \end{aligned}$$

Quand la voiture roule à $45\ \text{km/h}$, son énergie cinétique est de $70\ 312,5\ \text{J}$, alors que la même voiture qui roule à $90\ \text{km/h}$ aura une énergie cinétique de $281\ 250\ \text{J}$.

On peut en conclure pour cette voiture que, si sa vitesse est multipliée par deux, son énergie cinétique est multipliée par $4$, car $\dfrac{281\ 250}{70\ 312,5}=4$.

L’énergie cinétique d’une voiture roulant à $90\ \text{km/h}$ est donc $4$ fois plus importante que celle d’une voiture roulant à $45\ \text{km/h}$. Or, lors d’un impact, plus l’énergie cinétique du corps en mouvement est élevée, plus les dégâts du choc sont importants.