Définition : Intervalle de fluctuation asymptotique

Soit $X_n$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $B(n,p)$, $\alpha$ un réel tel que $0<\alpha < 1$ et $Y$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite $N(0,1)$.

On appelle $u_{\alpha}$ l’unique réel tel que : $P(-u_{\alpha} \leq Y \leq u_{\alpha}) = 1 - \alpha$

On appelle $I_n$ l’intervalle : $I_n = \left[p-u{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$

Alors :

$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} p \left( \dfrac{X_n}{n} \in I_n \right) = 1 - \alpha$

L’intervalle $I_n = \left[p-u_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+u_{\alpha}\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$ contient la fréquence $F_n = \dfrac{X_n}{n}$ avec une probabilité qui se rapproche de $1 - \alpha$ lorsque $n$ augmente.

On dit que c’est un intervalle de fluctuation asymptotique de $F_n$ au seuil de $1 - \alpha$.

Cette approximation est valable lorsque $n \geq 30$, $np \geq 5$ et $n(1-p) \geq 5$.