Définition : Suite majorée, minorée et bornée

Suite majorée, minorée et bornée

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Une suite $(u_n)$ est majorée s’il existe un nombre $M$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \leq M$. On dit alors que $M$ est un majorant de $(u_n)$.
Par exemple, soit la suite $(u_n)$ définie, pour tout $n \in\mathbb{N}$, par : $u_n= 3-\sqrt n$.
Pour tout $n \in\mathbb{N}$, $u_n \leq 3$ donc la suite $(u_n)$ est majorée par 3. Remarque : elle est aussi majorée par tout nombre supérieur à 3.
Une suite $(u_n)$ est minorée s’il existe un nombre $m$ tel que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq m$. On dit alors que $m$ est un minorant de $(u_n)$.
Une suite à la fois minorée et majorée est dite bornée.
Par exemple, la suite définie, pour tout entier naturel non nul $n$, par : $u_n= \dfrac {1}{n}$, est bornée car, pour tout entier naturel non nul $n$, $0 < \dfrac {1}{n} \leq1$.