Démonstration : Démonstration de l'indépendance de deux évènements

Si $A$ et $B$ sont deux événements indépendants, alors $\bar{A}$ et $B$ le sont aussi.

La définition de l’indépendance de $\bar{A}$ et $B$ :
$P(A ∩ B) = P(A) × P(B)$.

D’après la formule des probabilités totales :
$P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ \bar{A})$,

et donc
$P(\bar{A}∩B) = P(B) - P(B ∩ A)$
$P(\bar{A}∩B) = P(B) - P(B) × P(A)$
$P(\bar{A}∩B) = (1 - P(A)) × P(B)$
$P(\bar{A}∩B) = P(\bar{A} ) × P(B).$
et donc les événements $\bar{A}$ et $B$ sont indépendants.

Cas d’utilisation : Dans certains exercices d’indépendance.

• Exemple

Deux entreprises fabriquent un composant, $E1$ en fournit $80$ chaque mois et $E2$ en fournit $20$ par mois. Parfois le composant fourni est défectueux.
On choisit un composant au hasard dans le stock fourni ce mois-ci. On note :

• $E1$ la probabilité que le composant provient de l’entreprise $E1$. On a donc $P(E1)= 80\%$
• $E2$ la probabilité que le composant provient de l’entreprise $E2$. On a donc $P(E2) = 20\%$.
• $D$ la probabilité que le composant soit défectueux.

On suppose que $P_{E1}(\bar{D}) = p(\bar{D}))$. Calculer $P_D(E1$).

Réponse :
De $P_{E1}(\bar{D}) = p(\bar{D}))$ on déduit que $E1$ et sont indépendants :

• vision intuitive : la probabilité que soit réalisé ne dépend pas du fait que $E1$ soit réalisé ou non.
• rédaction rigoureuse avec la formule des probabilités conditionnelles :
  $P_{E1}(\bar{D}) = p(\bar{D})) \Leftrightarrow \frac {p(E1 ∩ \bar{D})} {p(E1)} = P(\bar{D})$
  $\Leftrightarrow P(E1 ∩ \bar{D})= P(\bar{D}) \times P(E1)$

D’après ce qui précède on peut alors affirmer que $E1$ et $D$ sont indépendants. Par conséquent, $P_D(E1) = P(E1) = 80\%$.