Démonstration : Démonstration de la primitive d'une fonction

Nous allons démontrer la propriété suivante :

Soit $f$ une fonction continue sur $[a ;b]$ et $c$ un point de l'intervalle $[a ;b]$ On considère la fonction $F_c(x)$, qui à $x$ de $[a ;b]$ associe : $F_c(x)=\int^x_cf(t)dt$

Alors $F_c$ est l'unique primitive de $f$ qui s'annule au point $c$.

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces pré-requis :

Définition :
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$, si $F$ est une primitive de $f$ et si $a$ et $b$ sont deux réels quelconques de $I$, alors on appelle intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ la différence entre $F(b) - F(a)$.

Propriétés :

• Si $f$ est une fonction continue sur $[a ; b]$, pour tout c appartenant à cet intervalle, on a :
  $\int^c_cf(x)dx=0$
• Si $F$ est l’un des primitives de $f$ sur l’intervalle $I$, les autres primitives de $f$ sont les fonction $F(x)+k$, où $k$ est une constante réelle.

Soit $f$ une fonction continue sur $[a ; b]$ et $c$ un point de l'intervalle $[a ; b]$.
On considère la fonction $F(x)$, qui à $x$ de $[a ; b]$ associe :
$F(x) =\int^x_cf(t)dt$
Par définition de l’intégrale, on a $\int^x_cf(t)dt=F(x)-F(c)$
$F(c)=\int^c_cf(t)dt=F(c)-F(c)=0$

Soit $G$ une autre primitive de $f$. Par propriété, il existe une constante réelle $k$, telle que $G(x)= F(x) + k$ pour tout $x$ appartenant à $[a ; b]$.
$G(c) = F(c) + k = k$
Donc si $k\neq 0$, la fonction $G$ ne s’annule pas au point $c$ et $F$ et $G$ sont deux primitives distinctes de $f$.
$F$ est donc l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $c$.