Démonstration de la primitive de la fonction f sur [a, b]

Dans cette démonstration, nous allons nous pencher sur la manière de déterminer la primitive d’une fonction $f$, sur un intervalle $[a, b]$ donné.

Voici le théorème que nous allons démontrer :

Soit une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a; b]$alors, pour toute primitivesi $F$ est une primitive de $f$ sur $[a; b]$ on a :

$\int^b_af(x)dx=F(b)-F(a)$

En une phrase, cette propriété nous permet de faire le lien entre la notion d’intégration, et celle d’aire sous la courbe de la fonction considérée.

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de la propriété pré-requise ci dessous, qui nous donne l’unique primitive d’une fonction $f$ qui s’annule à un point donné de l’intervalle $[a,b]$ (il faut en effet se rappeler qu’une fonction a une infinité de primitives, identiques à une constante près : quand on dérive une constante, on obtient $0$).

Propriété :

Soit $f$ une fonction continue sur $[a; b]$; et $c$ un point de l'intervalle $[a; b]$ . On considère la fonction $F_c(x)$ qui à $x$ de $[a; b]$associe : $F_c(x)=\int^x_cf(t)dt$
Alors $F_c$ est l'unique primitive de $f$ qui s'annule au point $c$.

• On cherche donc ici la primitive de $f$, en fixant cette constante, de manière à annuler la primitive au point $c$ choisi par avance.

Soit $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $[a; b]$ , Et $F(x)=\int^x_af(t)dt$ est la fonction qui à $x$ associe la primitive de $f$, sur l’intervalle $[a, x]$aussi une primitive de f sur avec x appartenant au même intervalleà $[a,, b]$, alors il existe un réel $k$ tel que :

$F(x)=\int^x_af(t)dt+k$

Ainsi $F(a)=\int^a_af(t)dt+k=0+k=k$ et $F(b)=\int^b_af(t)dt+k$

On peut déduire que : $F(b)-F(a)=\int^b_af(x)dx$