Démonstration de la propriété exp(na)=exp(a)ⁿ

La fonction exponentielle est une fonction essentielle et fondamentale en mathématiques, parce qu’elle permet notamment de mieux saisir la notion de nombres complexes, de fonction logarithmique, etc. Dans cette fiche, nous allons montrer la propriété suivante : $exp(na)=(exp(a)^n)$ essentielle de la fonction exponentielle.

Afin de démontrer cette propriété, nous avons besoin de ce théorème prérequis :

Unicité de la fonction exponentielle :

Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f=f'$ et $f(0)=1$. Cette fonction est appelée fonction exponentielle, on la note $exp$.

Soient $a$ un réel et $n$ un entier relatif $exp(na)=(exp(a))^n$

On montre cette relation par récurrence sur $N$. Soit $P(n)$, la proposition qui affirme que : pour tout $n\in\mathbb{N}$, $exp(nx)=(exp(x))^n$

• Initialisation :

$P(0)$ est vraie car si $n = 0$, on a $exp(nx)= exp(0)=1$ et $(exp x)^n=(expx)^0=1$

car $ exp x \neq 0$ pour tout $x$.

• Hypothèse de récurrence :

On suppose que pour un entier naturel $n$, $exp(nx) = (exp(x))^n$, c’est-à-dire qu’on suppose $P(n)$ vraie.

• Hérédité : Montrons que $P(n+1)$ est vraie, c’est-à-dire que $exp ((n+1)x)= exp(x))^{(n+1)}$

$exp ((n+1)x)= exp(nx+x)$

• D’après la première propriété : $exp ((n+1)x)= exp (nx) \times exp (x)$

• D’après l'hypothèse de récurrence : $exp ((n+1)x)= exp (x) ^n \times exp (x)$

On a alors : $ exp ((n+1)x)= exp (x)^{n+1}$

La propriété $P(n+1)$ est donc vraie.
$P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire.

On peut donc conclure que, pour tout entier naturel, $P(n)$ est vraie.

Voyons maintenant le cas où $n$ est négatif. Soit $p\in\mathbb{Z}$

On peut alors poser $p = -n$ avec $n\in\mathbb{N}$

Alors $exp(px)=exp(-nx)=\dfrac{1}{exp(nx)}=\dfrac{1}{(exp\ x)^n}=(exp\ x)^{-n}$

soit $exp(px)=(expx)^p$