Nous connaissons déjà la méthode pour trouver les racines d’un polynôme du second degré dans l’ensemble des réels. Ici, nous allons nous intéresser à sa solution dans l’ensemble des complexes, c’est-à-dire le cas où le discriminant $\Delta$ est négatif.
Propriété :
- Résolution d’une équation du second degré dans $\mathbb{C}$ :
Soit, dans $\mathbb{C}$, l’équation $(E)$ : $az^2+bz+c=0$,
les nombres $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels avec $a\neq 0$.
On pose $\Delta=b^2-4ac$ et on appelle $S$ l’ensemble des solutions de $(E)$.
- Si $\Delta>0$, $S=\Big\lbrace \dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a};\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\Big \rbrace $
- Si $\Delta =0$, $S=\dfrac{-b}{2a}$
- Si $\Delta<0$, $S=\Big\lbrace \dfrac{-b+i\sqrt-\Delta}{2a};\dfrac{-b-i\sqrt-\Delta}{2a}\Big \rbrace $
Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces trois propriétés pré-requises :
- Écriture canonique d'un polynôme du second degré de la forme $z^2+bz+c=0$.
Les nombres $a$, $b$ et $c$ sont des réels, avec $a\neq 0$
$x^2+bx+c=a\Big((x+\dfrac{b}{2a})^2- \dfrac{\Delta}{4a^2}\Big)$
avec $\Delta=b^2-4ac$ - Identité remarquable : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Soit, dans $\mathbb{C}$, l’équation $(E)$ : $az^2+bz+c=0$, les nombres $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels avec $a\neq 0$. On pose $\Delta =b^2-4ac$.
Nous connaissons les solutions d'une équation du second degré à coefficients réels lorsque $\Delta$ est positif ou nul.
Pour déterminer la solution lorsque ∆ est négatif, nous nous servons des nombres complexes.
Si $\Delta<0$, alors$-\Delta>0$ On pose : $\Delta=-(-\Delta)=i^2(-\Delta)=(i\sqrt{-\Delta})^2$
Donc, l'écriture canonique devient :
$\begin {aligned}a\Big(\big(z+\dfrac{b}{2a}\big)^2-\dfrac{(i\sqrt-\Delta)}{4a^2}\big)&=0 \\ \big(z+\dfrac{b}{2a}\big)^2-\Big(\dfrac{i\sqrt-\Delta}{4a^2}\Big)^2&=0 \end{aligned}$
À l'aide de l'identité remarquable, on obtient :
$\big(z+\dfrac{b}{2a}-(\dfrac{i\sqrt-\Delta}{2a}\big)\big(z+\dfrac{b}{2a}+{i\sqrt-\Delta}{2a}\big)=0$
$\big(z+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{i\sqrt-\Delta}{2a}\big)\big(z+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{i\sqrt-\Delta}{2a}\big)=0$
Or un produit de facteurs est nul, si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul :
$$\big(z+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\big)=0$$ ou $$\big(z+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\big)=0$$
soit : $$z=\dfrac{b}{2a}-\dfrac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}$$ ou $$z=\dfrac{b}{2a}+\dfrac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}$$
et donc , si $\Delta<0$, alors l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : $$z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$$ ou $$z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$$