Démonstration des variations de la fonction exponentielle et de ses limites en l'infini

La fonction exponentielle est une fonction essentielle et fondamentale en mathématiques, parce qu’elle permet notamment de mieux saisir la notion de nombres complexes, de fonction logarithmique etc. Dans cette fiche, nous allons étudier les variations de la fonction exponentielle et ses limites en $+\infty$ et $-\infty$.

Théorème :
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et ses limites sont $0$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$

Afin de démontrer ce théorème, nous avons besoin de ces trois propriétés pré-requises :

• La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même.
• La fonction exponentielle est strictement positive.
• Soit $a$ un réel, $exp(-a)=\dfrac{1}{exp(a)}$

Pour connaître les variations d'une fonction, on étudie le signe de sa dérivée.

On sait que la dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même. On a $(e^x)'=e^x$ pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R}$. Or la fonction exponentielle est strictement positive. Donc $(e^x)'$ est strictement positive, ce qui entraine que $e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

• Montrons à présent que la limite de la fonction exponentielle en $+\infty$ est infinie. On pose la fonction $g(x)=e^x-x$.
  Sa dérivée est $g'(x)=e^x-1$.

On peut dresser son tableau de variation :

On observe que $g(x)$ est toujours supérieure à $0$, donc : $g(x)=e^x-x>0$

Donc $e^x>x$ pour tout x appartenant à $\mathbb{R}$

Or $\lim \limits_{x\to +\infty} {x}=+\infty$ donc par comparaison, $\lim \limits_{x\to +\infty} {{e^x}}=+\infty$

• Montrons à présent que la limite de la fonction exponentielle en $-\infty$ est nulle.

On pose $X= -x$
On sait que $\lim \limits_{X\to +\infty} {e^X}=+\infty$
De plus, $e^X=e^{-x}=\dfrac {1}{e^x}=+\infty$
Donc $\lim \limits_{\stackrel{X\to +\infty}{e^X}}=\lim \limits_{\stackrel{x\to -\infty}{e^{-x}}}=\lim \limits_{\stackrel{x\to -\infty}{\frac{1}{e^x}}}=+\infty$

Or si l'inverse d'une fonction de x tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $-\infty$, alors cette fonction tend vers $0$ quand $x$ tend vers $-\infty$.

On obtient donc bien $\lim \limits_{\stackrel{X\to -\infty} {e^x}}=0$