Démonstration du produit scalaire entre vecteurs à trois dimensions

Nous avons vu au cours de l'année, l'expression du produit scalaire entre deux vecteurs à deux coordonnées, donc à deux dimensions.
Nous allons ici nous intéresser à l'expression du produit scalaire entre vecteurs à trois dimensions.

Propriété :
On se place dans un repère $(O ;\vec i ; \vec j ;\vec k)$ orthonormé de l'espace

Soient deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ respectivement de coordonnées $\overrightarrow {u}\left( \begin{array}{ c c } x \\ y\\ z \end{array} \right)$ et $\overrightarrow {v}\left( \begin{array}{ c c } x' \\ y'\\ z' \end{array} \right)$

Alors : $\vec u \cdot \vec v= xx'+yy'+zz'$

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces deux propriétés pré-requises :

• Expression du produit scalaire : $\vec u \cdot \vec v=\dfrac12[\big||\vec u+ \vec v|\big|-||\vec u||-||\vec v||]$
• $\vec{u}^2= \big||\vec u|\big|^2=(x^2+y^2+z^2)$

On applique l'expression du produit scalaire $\vec u \cdot \vec v=\dfrac12[\big||\vec u+ \vec v|\big|-||\vec u||-||\vec v||]$, et on a :
$\vec u \cdot \vec v=\dfrac12[\big||\vec u+ \vec v|\big|-||\vec u||-||\vec v||]$

$\vec u \cdot \vec v=\dfrac{1}{2} \left[\left|\Bigg| \left(\begin{array}{ccc} x+x' \\ y+y'\\ z+z' \end{array}\right)\Bigg|\right|\right]- \left|\Bigg| \left(\begin{array}{ccc} x \\ y\\ z \end{array}\right)\Bigg|\right|-\left|\Bigg| \left(\begin{array}{ccc} x' \\ y'\\ z'\end{array}\right)\Bigg|\right|$

$\vec u \cdot \vec v=\dfrac{1}{2}[(x+x')^2+(y+y')^2+(z+z')^2-(x^2+y^2+z^2)-(x'^2+y'^2+z'^2)]$

$\vec u \cdot \vec v=\dfrac{1}{2}[x^2+2xx'+x'^2+y^2+2yy'+y'^2+z^2+2zz'+z'^2-x^2-y^2-z^2-x'^2-y'^2-z'^2]$

$\vec u \cdot \vec v=\dfrac{1}{2}[2xx'+2yy'+2zz']$

Alors, $\vec u \cdot \vec v=[xx'+yy'+zz']$

Ce qui nous donne l'expression du produit scalaire en dimension $3$.