Démonstration : Démonstration de exp⁡(x)≠0

Nous allons démontrer que la fonction exponentielle ne s’annule jamais sur l’ensemble des réels.

La fonction exponentielle est la fonction, notée $\text{exp}$, dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que :
$\text{exp}(x)'=\text{exp}(x)$ et $\text{exp}(0)=1$.

Propriété :

$k$ est un nombre réel et $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$.
Si, pour tout réel $x$, $f'(x)=k\times f(x)$ et $f(0)=1$ alors $f$ ne s’annule pas.
Ce qui induit : $\text{exp}(x) \neq 0$

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de ces deux propriété/théorème pré-requis :

• Propriété

La dérivé d'un produit de fonction dérivable sur $\mathbb{R}$
$f(x)=u(x) \times v(x)$ est $f'(x)=u'(x) \times v(x)+u(x) \times v'(x)$

• Théorème de l'unicité :

Il existe une unique fonction $f$dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.
Cette fonction est appelée fonction exponentielle, on la note $\text{exp}$.

Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$, définie par $f'(x)=k\times f(x)$ et $f(0)=1$.

Définissons ensuite la fonction g dérivable sur ℝ par : $g(x)=f(x) \times f(-x)$

En dérivant $g$ grâce à la formule de la dérivée d'un produit, nous obtenons :

$\begin {aligned}g'(x)&=f'(x) \times f(-x)+f(x) \times f'(-x)\\ g'(x)&=k \times f(x) \times f(-x)+f(x) \times (-k) \times f(-x)\\ g'(x)&= k \times f(x) \times f(-x)- f(x) \times k \times f(-x) \\ g'(x)&=0\end{aligned}$

Puisque la dérivée $g'$ est nulle sur $\mathbb{R}$, nous avons $g$, fonction constante sur $\mathbb{R}$.

Et comme $g(0)=f(0) \times f(-0)=1$ on a pour tout x, $g(x)=1$ c'est-à-dire $f(x) \times f(-x)=1$

Alors, pour tout réel $x$, $f(x) \neq 0$

Le théorème de l'unicité implique que $\text{exp} (x) \neq 0$