Démonstration de l'unique solution admise par l'équation f(x)=k dans un intervalle

On va tenter de démontrer qu’une fonction $f$ continue et monotone sur un intervalle $[a, b]$ (donc croissante, décroissante ou constante) prend une et une unique fois chaque valeur $k$ comprise entre $f(a)$ et $f(b)$.

Théorème :
Si f est une fonction continue strictement monotone sur l’intervalle $I=[a ;b]$ alors :

• L’image de $I$ par $f$ est l’intervalle $[f(a) ;f(b)]$ si $f$ est croissante, et $[f(b) ; f(a)]$ si $f$ est décroissante.
• Pour tout $k$ dans $[f(b) ; f(a)]$, l’équation $f(x)=k$ a une unique solution dans $I$.

Afin de démontrer ce théorème, nous avons besoin d'un théorème prérequis :

Théorème des valeurs intermédiaires :
Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a ;b]$alors pour tout $\alpha$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x)=\alpha$ admet au moins une solution $x$ comprise entre $a$ et $b$.

Pour plus de clarté, nous posons $f$ strictement croissante. Mais cette démonstration est la même pour une fonction strictement décroissante.

Soit $x$ un réel de l’intervalle $I=[a ;b]$ alors $a\leq x\leq b$ $f$ est strictement croissante sur $I$, alors $f(a) \leq f(x)\leq f(b)$

Ainsi, $f (I)$ est inclus dans $[f(a) ;f(b)]$.

• On a donc prouvé la première partie du théorème : l’image de $I$ par $f$ est incluse dans l’intervalle $[f(a) ;f(b)]$.

Prouvons la deuxième partie du théorème : Soit $k$ un réel de $[f(a) ;f(b)]$.

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[a; b]$

Supposons que l’équation $f(x)=k$ admette deux solutions $x_0$ et $x_0'$, alors $f(x_0)=f(x_0')$.
Or, $f$ est strictement croissante sur $[a; b]$ donc pour tous les nombres distincts $x_0$ et $x_0'$ de $[a; b]$, si $x_0<x_0'$, on a $f(x_0)<f(x_0')$.

• Ce qui rejette l’hypothèse selon laquelle il pourrait exister deux solutions distinctes à l’équation.

Donc l’équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $I$.