Démonstration de l'équation cartésienne d’un vecteur normal à un plan

Dans la géométrie euclidienne, un plan est défini par un ensemble infini de droites. Pour caractériser celui-ci, la manière la plus simple est d’utiliser un point et un vecteur, comme référence. Nous allons étudier le lien qui existe entre un plan et un vecteur qui lui est orthogonal.

Théorème :
On se place dans un repère $(O ;\vec i ; \vec j ;\vec k)$ orthonormé de l'espace.

Un plan $P$ de vecteur normal $\overrightarrow {n}\left( \begin{array}{ c c } a \\ b\\ c \end{array} \right)$ non nul, admet une équation cartésienne de la forme $ax+by+cz+d=0$ avec $d$ réel.

Afin de démontrer cette propriété nous avons besoin de cette propriété pré-requise :

Si $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux, alors $\vec u \cdot \vec v= 0$

Soit un point $A$ de coordonnées $\left( \begin{array}{ c c } x_A \\ y_A\\ z_A \end{array} \right)$ d'un plan $P$, de vecteur normal $\overrightarrow {n}\left( \begin{array}{ c c } a \\ b\\ c \end{array}\right)$.

Si le point $M$ de coordonnées $\left( \begin{array}{ c c } x \\ y\\ z \end{array} \right)$ appartient au plan $P$, alors $\overrightarrow {AM}$ appartient au plan.

$\overrightarrow {n}$ étant orthogonal au plan, donc à tout vecteur du plan, on conclut que les vecteurs $\overrightarrow {AM}$et $\overrightarrow {n}$sont orthogonaux. Or le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul. On a donc :

$\begin{aligned}\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {n}=0 &\Leftrightarrow a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0\\ &\Leftrightarrow ax-ax_A+by-by_A+cz-cz_A=0 \\ &\Leftrightarrow ax+by+cz-ax_A-by_A-cz_A=0\end{aligned}$

Si l'on pose $d=-ax_A-by_A-cz_A$

On obtient bien que $M$ appartient au plan $P$, si et seulement si : $ax+by+cz+d=0$,

ce qui nous donne l’équation du plan $P$.

On peut donc définir un plan $P$ à partir d’un point et d’un vecteur normal.