Utiliser les fonctions exponentielles pour modéliser un phénomène

L’exercice corrigé de cette fiche permet d’appliquer les notions des cours « Croissance exponentielle et suites géométriques » et « Croissance et fonctions exponentielles » :

• reconnaître et modéliser un phénomène de croissance exponentielle ;
• exploiter la représentation graphique d’une fonction exponentielle ;
• déterminer le sens de variation d’une fonction exponentielle ;
• rechercher un seuil à l’aide d’une représentation graphique ou en utilisant un outil numérique.

Énoncé

Les noyaux instables des éléments du tableau périodique se désintègrent au cours du temps en noyaux plus stables. Lors de cette désintégration, des rayonnements sont émis. Ce phénomène est appelé radioactivité.
On utilise ce processus en imagerie médicale. Lors d’une scintigraphie, par exemple, on injecte au patient un élément faiblement radioactif qui émet dans son corps des rayonnements ; ces derniers sont détectés par une caméra. On reconstitue ensuite une image en 2D ou en 3D de l’organe que l’on veut examiner.

On a injecté à un patient un produit contenant de l’iode 123 radioactif.

Question 1

Le tableau ci-dessous donne le nombre de noyaux radioactifs (arrondis au millier près) présents dans le corps du patient, mesuré toutes les heures après l’injection.
On désigne par $n$ le nombre d’heures écoulées après l’injection. Et $u(n)$ désigne alors le nombre de noyaux, en million. Par exemple, $u(0)$ représente le nombre de noyaux radioactifs initialement injectés, soit $6,8$ millions.

a. Compléter la dernière ligne du tableau ; on arrondira les résultats au millième.

b. Quelle conjecture peut-on faire sur la suite $u$ ? Quelle hypothèse peut-on alors faire sur l’évolution du nombre de noyaux radioactifs ?

Question 2

On admet que l’évolution du nombre de noyaux radioactifs dans le corps du patient, exprimé en million, est modélisée sur l’intervalle $[0\ ;\, +\infty[$ par la fonction $f$ définie par :

Quel est le sens de variation de cette fonction ? Justifier.

Question 3

Calculer le nombre de noyaux radioactifs encore présents dans le corps du patient au bout de $7,5\ \text{h}$, puis au bout de $10\ \text{h}\ 20\ \text{min}$. On donnera les résultats arrondis à la dizaine de milliers près.

Question 4

On définit par demi-vie de l’iode 123 la durée $T$ au bout de laquelle il ne reste plus dans l’organisme du patient que la moitié des noyaux initialement présents.
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0\ ;\, 24]$ :

Déterminer graphiquement la demi-vie de l’iode 123.

Question 5

Déterminer combien d’heures après l’injection il restera, dans le corps du patient, moins de $10\,\%$ des noyaux radioactifs initialement présents.

Corrigé

Question 1

a. Afin de compléter le tableau, dans la formule donnée, on remplace $n$ par la valeur indiquée dans la colonne correspondante.
Par exemple, pour le calcul de la première valeur en troisième ligne, $n$ prend la valeur $\green 0$. On effectue le calcul :
$$\begin{aligned} \dfrac{u(\green 0+1)-u(\green 0)}{u(\green 0)}&= \dfrac {u(1)-u(0)}{u(0)} \\ &=\dfrac {6,447-6,8}{6,8} \\ &=\dfrac {-0,353}{6,8} \\ &\approx -0,052 \end{aligned}$$

• En opérant de la sorte pour chaque colonne, on obtient le tableau complété suivant :

b. On observe les résultats de la troisième ligne : on constate que, pour les $6$ premiers termes, le quotient $\frac{u(n+1)-u(n)}{u(n)}$ est proche de $-0,052$.
De plus, on reconnaît en ce quotient le taux d’évolution entre $u(n)$ et $u(n+1)$.

• On conjecture alors que le taux d’évolution entre $u(n)$ et $u(n+1)$ reste constant, et donc que la suite $u$ est géométrique, de premier terme $u(0)=6,8$ et de raison $1-0,052=0,948$.
• On peut alors supposer que l’évolution du nombre de noyaux radioactifs dans le corps du patient est exponentielle.

Question 2

La fonction $f$, définie sur l’intervalle $[0\ ;\, +\infty[$ par $f(t)=6,8\times 0,948^t$, a le même sens de variation que la fonction exponentielle de base $0,948$.

• Comme $0 < 0,948 < 1$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0\ ;\, + \infty[$.

Remarque :
La réponse est cohérente avec le tableau de la question 1, qui donne des valeurs de plus en plus petites pour les premiers termes de la suite $u$.
D’autre part, dans le contexte de l’énoncé, les noyaux radioactifs disparaissent au cours du temps pour laisser place à des noyaux stables. Il est donc pertinent de trouver que $f$ est décroissante sur $[0\ ;\, +\infty[$.

Question 3

Le nombre de noyaux radioactifs encore présents dans le corps du patient au bout de $7,5\ \text{h}$ s’obtient en calculant $f(7,5)$ :
$$f(7,5)=6,8\times 0,948^{7,5}$$ À l’aide de la calculatrice, on trouve :
$$f(7,5)\approx 4,56$$

• Au bout de $7,5\ \text{h}$, il y a environ $4,56$ millions de noyaux radioactifs dans le corps du patient.

De la même façon, pour obtenir le nombre de noyaux restants au bout de $10\ \text{h}\ 20\ \text{min}$, on calcule :
$$\begin{aligned} f\left(10+\frac 13\right)&=f\left(\dfrac {31}3\right) \\ &=6,8\times 0,948^{\frac{31}3} \\ &\approx 3,92 \end{aligned}$$

• On en déduit que, au bout de $10\ \text{h}\ 20\ \text{min}$, le nombre de noyaux radioactifs dans le corps du patient est environ $3,92$ millions.

Remarque :
Le nombre de noyaux radioactifs est exprimé en million. Arrondir à la dizaine de milliers près revient donc à arrondir à $10^{-2}$ près.

Question 4

On cherche le temps $T$ au bout duquel il n’y a plus que la moitié des noyaux initialement présents.
Le nombre de noyaux initial est $6,8$ millions, et $\frac{6,8}2=3,4$. On cherche donc les solutions de $f(t)=3,4$.
Graphiquement, on trace la droite d’équation $y=3,4$, et on détermine, avec la précision permise par le graphique, l’abscisse du point d’intersection de la courbe $\mathscr C_f$ et de la droite.

On trouve que $f(t)=3,4$ lorsque $t\approx 13$.

• Ainsi, la demi-vie de l’iode 123 radioactif est $T\approx 13\ \text{h}$.

Question 5

$10\,\%$ de $6,8$ millions de noyaux équivalent à $0,68$ million de noyaux.
On cherche donc à résoudre $f(t)\leq 0,68$.

On remarque que la courbe donnée ci-dessus pour l’intervalle $[0\ ;\, 24]$ ne permet pas de résoudre l’inéquation. En effet, le minimum obtenu sur cet intervalle est environ $1,9$, et on sait que la fonction continue à décroître ensuite.
Pour résoudre cette inéquation, on peut refaire le graphique sur un intervalle d’amplitude plus grande, ou paramétrer un tableau de valeurs – avec un tableur, une calculatrice ou un logiciel de calcul formel.
On utilise par exemple le tableau de valeurs de la fonction $f$, généré avec un tableur pour des valeurs de $t$ supérieures à $24$ (les images sont données avec un arrondi à $10^{-3}$ près).

On remarque que les valeurs de $f(t)$ passent de valeurs supérieures à $0,68$ à des valeurs inférieures à $0,68$ entre la $43^{\text{e}}$ et la $44^{\text{e}}$ heure.

• On en déduit qu’il faut environ $44$ heures pour qu’il reste moins de $10\,\%$ des noyaux initialement présents.