Algorithme des urnes d'Ehrenfest - Casio

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Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2025. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des dates du bac 2025 ou des coefficients des matières … 💪

Type de calculatrice

Casio

Prérequis

Théorie :

Considérons deux urnes :

  • l’une contient $N$ boules numérotées de $1$ à $N$ ;
  • l’autre, aucune.

À chaque étape, on tire au hasard un nombre entier entre $1$ et $N$, et on change d’urne la boule portant le numéro correspondant. $X$ désigne le nombre de boules dans la première urne.

Description

Programme

  • Le programme, à partir d’un nombre $N$ de boules présentes dans la première urne, demandé à l’utilisateur, va donner au final le nombre de boules présentes dans cette même urne après $200$ tirages, selon le mode opératoire décrit en prérequis.
  • Le programme considère une variable $X$ qui vaut $N$ au départ.
  • À chacune des $200$ étapes, le programme va prendre aléatoirement un nombre $K$ compris entre $0$ et $1$.
  • Il va comparer $K$ au rapport $\frac{X}{N}$.
  • Si $K$ est inférieur à $\frac{X}{N}$, il soustraira $1$ à $X$ ($X$ chances sur $N$).
  • Si $K$ est supérieur à $\frac{X}{N}$, il ajoutera $1$ à $X$ ($N-X$ chances sur $N$).
  • Ceci pour simuler le tirage au hasard d’un numéro.
  • Le programme donnera donc, à la fin de sa simulation, le nombre de boules présentes dans la première urne.

Variables

  • $N$, le nombre de boules au total.
  • $X$, le nombre de boules dans la première urne ; au début, $X=N$.
  • $K$, un flottant (réel) tiré au hasard dans $[0,1]$.

Algorithme

|demander $N$
|$X=N$
|pour $I$ allant de $1$ à $200$

|$K$ aléatoire dans $[0,1]$

|si $K<\dfrac{X}{N}$ alors

|$X$ devient $X-1$

|sinon

|$X$ devient $X+1$

|afficher $X$

Programme Casio

Alt texte

Pour créer un nouveau programme, appuyer sur $\mathsf{MENU}$, puis choisir $\mathsf{PRGM}$, appuyer enfin sur $\mathsf{F3}$ : $\mathsf{NEW}$.

  • $\mathsf{SHIFT}$ $\mathsf{VARS}$ $\mathsf{F4}$ : $\mathsf{?}$ $\mathsf{N}$ $\mathsf{SHIFT}$ $\mathsf{VARS}$ $\mathsf{F6}$ $\mathsf{F5}$ : ’$\mathsf{:}$’$\mathsf{\ N}$ $\mathsf{X}$
  • $\mathsf{SHIFT}$ $\mathsf{VARS}$ $\mathsf{F1}$ $\mathsf{F6}$ $\mathsf{F1}$ : $\mathsf{For}$ $\mathsf{1}$ $\mathsf{I}$ $\mathsf{SHIFT}$ $\mathsf{VARS}$ $\mathsf{F1}$ $\mathsf{F6}$ $\mathsf{F2}$ : $\mathsf{To}$ $\mathsf{2}$ $\mathsf{0}$ $\mathsf{0}$
  • $\mathsf{OPTN}$ $\mathsf{F6}$ $\mathsf{F3}$ $\mathsf{F4}$ $\mathsf{F1}$ : $\mathsf{Ran\sharp}$ $\mathsf{K}$
  • $\mathsf{SHIFT}$ $\mathsf{VARS}$ $\mathsf{F1}$ $\mathsf{F1}$ : $\mathsf{If\ K}$ $\mathsf{EXIT}$ $\mathsf{EXIT}$ $\mathsf{F6}$ : $\mathsf{Char <}$ $\mathsf{EXE}$ $\mathsf{X}$ $\mathsf{\div}$ $\mathsf{N}$
  • $\mathsf{SHIFT}$ $\mathsf{VARS}$ $\mathsf{F1}$ $\mathsf{F2}$ : $\mathsf{Then\ X}$ $\mathsf{-}$ $\mathsf{1}$ $\mathsf{X}$
  • $\mathsf{SHIFT}$ $\mathsf{VARS}$ $\mathsf{F1}$ $\mathsf{F3}$ : $\mathsf{Else\ X}$ $\mathsf{+}$ $\mathsf{1}$ $\mathsf{X}$
  • $\mathsf{SHIFT}$ $\mathsf{VARS}$ $\mathsf{F1}$ $\mathsf{F4}$ : $\mathsf{IfEnd}$
  • $\mathsf{SHIFT}$ $\mathsf{VARS}$ $\mathsf{F1}$ $\mathsf{F6}$ $\mathsf{F4}$ : $\mathsf{Next}$
  • $\mathsf{X}$

Remarques

Ce programme a été réalisé et testé sur le modèle de calculatrice GRAPH 35+E.

  • Pour faire un retour de ligne, appuyer sur $\mathsf{EXE}$ .
  • Pour obtenir une lettre, appuyer d’abord sur $\mathsf{ALPHA}$ .
  • Pour certaines instructions, nous précisons à chaque fois l’enchaînement complet des touches pour y accéder. Toutefois, il arrive que des fonctions soient plus immédiatement disponibles lorsqu’elles font suite à un même type d’instruction. Par exemple, si vous venez d’utiliser l’instruction $\mathsf{If}$, les instructions $\mathsf{Then}$, $\mathsf{Else}$, $\mathsf{IfEnd}$ sont toujours affichées sur l’écran ; il suffit donc d’utiliser la touche $\mathsf{F}$ correspondante.

Lorsque l’instruction $X$ devient $X-1$ s’applique, on pourrait se demander s’il existe un risque que $X$ devienne négatif, ce qui n’aurait plus de sens dans le contexte. Mais elle ne s’applique que si $K<\frac{X}{N}$, or, lorsque $X=0$, alors $\frac{X}{N}=0$ et $K$ ne peut être strictement inférieur à $0$ (un réel tiré au sort dans [0,1] a une probabilité nulle d’être strictement inférieure à $0$).

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