Une grande partie des phénomènes physiques sont modélisés avec des équations différentielles (équation contenant à la fois une fonction et sa dérivée). Pour les résoudre, il a donc été nécessaire de construire une fonction qui est égale à sa dérivée : la fonction exponentielle.
Rappel
Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que : $f'=f$ et $f(0)=1$
Cette fonction est appelée fonction exponentielle, on la note $exp(x)$.
Du fait de son comportement assimilable à celui des puissances, la fonction $exp(x)$ est souvent notée $e^x$, pour tout réel $a$ et $b$, pour $n$ un entier relatif, et pour $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
| Notation en $exp(x)$ | Notation en $e^x$ | |
| Opérations | $exp(a+b) = exp(a) \times exp(b)$ | $e^{a+b} = e^a\times e^b$ |
| $exp(-a)=\dfrac{1}{exp(a)}$ | $e^{-a}=\dfrac{1}{e^a}$ | |
| $exp(a-b)=\dfrac{exp(a)}{exp(b)}$ | $e^{a-b}=\dfrac{e^a}{e^b}$ | |
| $exp(n\times a) = [exp(a)]^n$ | $e^{n \times a} = {(e^a)}^n$ | |
| Dérivée | $[exp(u)]' = u' \times exp(u)$ | $(e^{u})' = u' \times e^u$ |
| $[exp(a \times x +b)]' = a \times exp (a \times x +b)$ | $(e^{a x +b})' = a \times e^{a x +b}$ | |
Comme $e^x$ est continue, strictement croissante sur $\mathbb{R}$, pour $a$, $b \in \mathbb{R}$ nous avons les équivalences suivantes :
$\begin{array}{lll} e^a=1 \Leftrightarrow a=0 & & e^a > 1 \Leftrightarrow a > 0 \\ e^a=e^b \Leftrightarrow a=b & & e^a < e^b \Leftrightarrow a < b \end{array}$