Les grands opérateurs

Les grand opérateurs tels que $\prod$ ou $\sum$ ont pour objectif de simplifier l’écriture d’expressions mathématiques dans lesquelles la même opération est effectuée un grand nombre de fois.

La somme $\sum$

L’opérateur $\sum$ permet d’abréger la notation d’une somme de $n$ termes d’une suite.

Notation : Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels tels que $m<n$ et $(u_n)$ une suite, alors :

$$\displaystyle\sum_{k=m}^{k=n} u_k=u_m+u_{m+1}+u_{m+2}+ …+ u_{n-1}+u_n$$

Remarque : La variable $k$ est muette, elle n’influence pas le résultat de l’opération et peut être remplacée par n’importe quelle autre variable du moment qu’elle est remplacée partout.

Exemple

• Somme des $N$ premiers entiers :
  $\displaystyle\sum_{k=1}^{k=1}k=1+2+3+⋯+(N-1)+N=\dfrac{N(N+1)}{2}$
• Somme des puissances d’un entier $p$ non-nul :
  $\displaystyle\sum_{k=1}^{k=1}p^k=p^1+p^2+…+p^{N-1}+p^N=\frac{1-p^N}{1-p}$

Le produit $\prod$

Notation : Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels tels que $m<n$ et $(u_n )$ une suite, alors : $$\displaystyle\prod_{k=m}^{k=n}u_k=u_m\times u_{m+1}\times u_{m+2}\times …\times u_{n-1}\times u_n$$

La factorielle d’un entier naturel $n$, symbolisée par l’utilisation de $!$ est donnée par : $$n!=\displaystyle\prod_{k=1}^{k=n}k=1\times 2\times …\times (n-1) \times n$$

Grands opérateurs sur les ensembles $\bigcup$ et $\bigcap$

Les opérateurs $\bigcup$ et $\bigcap$ permettent d’abréger la notation d’ensemble lorsque ceux-ci sont le résultat de l’union/intersection de $n$ intervalles dont les bornes sont définis par des suites.

Notations : Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels tels que $m<n$ et $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que pour tout $n\in N,(u_n )<(v_n )$.
Soit $(I_n)$ une suite d’intervalle dans $\mathbb{R}$ telle que pour tout $n\in N,I_n=[u_n;v_n]$, alors : $$\displaystyle\bigcup_{k=m}^{k=n}I_k= [u_m;v_m]\cup[u_{m+1};v_{m+1} ]\cup…\cup[u_{n-1};v_{n-1}]\cup[u_n;v_n]$$

$$\displaystyle\bigcap_{k=m}^{k=n}I_k= [u_m;v_m ]\cap[u_{m+1};v_{m+1} ]\cap…\cap[u_{n-1};v_{n-1}]\cap[u_n;v_n]$$

Exemple

• Si $u_n=n$ et $v_n=n+1$ alors $I_n=[n ; n+1]$
  $\displaystyle\bigcup_{k=m}^{k=n}I_k= [m ; m+1]\cup[m+1 ; m+2]\cup…\cup[n-1 ; n]\cup[n ; n+1]=[m ;n+1]$
• Si $u_n=-\dfrac1n$ et $v_n=n$ alors $I_n=\left[-\dfrac1n; n\right]$
  $\displaystyle\bigcap_{k=1}^{k=n}I_k= [-1; 1]\cap\left[-\frac12 ; 2\right]\cap\left[-\frac13; 3\right]\cap…\cap\left[-\frac{1}{n-1} ; n-1\right]\cap\left[-\frac1n ; n\right]=\left[-\frac1n ;1\right]$