Un intervalle est un ensemble de nombres réels. Que ce soit pour indiquer l'ensemble de définition d'une fonction ou pour présenter le résultat d'une inéquation, la maîtrise des intervalles est indispensable.
Intervalles
Intervalles
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels.
| Intervalles bornés | ||
| Notation | Ensemble des réels $x$ tels que : | Représentation graphique |
| $[a\ ; b]$ | $a\leq\ x\leq\ b$ |
|
| $[a\ ; b[$ | $a\leq\ x<\ b$ |
|
| $]a\ ; b]$ | $a<\ x\leq\ b$ |
|
| $]a\ ; b[$ | $a<\ x<\ b$ |
|
| Intervalles non bornés | ||
| Notation | Ensemble des réels $x$ tels que : | Représentation graphique |
| $[a\ ;\ +\infty[$ | $x\geq\ a$ |
|
| $]-\infty\ ;\ a]$ | $x\leq\ a$ |
|
| $]a\ ;\ +\infty[$ | $x\ >\ a$ |
|
| $]-\infty\ ;\ a[$ | $x\ <\ a$ |
|
Ensembles de valeurs
Ensembles de valeurs
Pour préciser une valeur précise dans un ensemble de solution, il faut adopter une notation différente car les intervalles contiennent une infinité de valeurs.
Ainsi pour $a$, $b$ et $c$ réels, l'ensemble de ces trois valeurs est noté entre accolades.
| Notation | Ensemble des réels $x$ tels que : | Représentation graphique |
| $\lbrace a\ ;\ b\ ; c\rbrace$ | $x= a$, $x=b$ ou $x=c$ |
|
Combinaisons d’ensembles
Combinaisons d’ensembles
Lorsqu'un ensemble de solution est réparti sur deux intervalles différents, il s'exprime grâce à l'opérateur union $\cup$ qui permet de joindre deux ensembles.
Si l'ensemble de solution est défini par l'intersection de deux intervalles, il s'exprime grâce à l'opération inter $\cap$.
Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ réels tels que $a < b < c < d$.
| Notation | Ensemble des réels $x$ tels que : | Représentation graphique |
| $[a\ ; b] \cup [c\ ; d]$ | $a\leq x\leq b$ ou $c \leq x \leq d$ |
|
| $[a\ ; b] \cup ]c\ ; d]$ | $a\leq x\leq b$ ou $c < x \leq d$ |
|
| $[a\ ; b] \cup ]c\ ; +\infty [$ | $a\leq x\leq b$ ou $c < x$ |
|
| $]- \infty\ ; b] \cup [c\ ; d]$ | $x\leq b$ ou $c \leq x \leq d$ |
|
| $]a\ ; c] \cap [b\ ; d]=[b\ ;c]$ | $b\leq x \leq c$ |
|
Astuce
Généralement, l'ensemble solution est noté $S$.