Bien rédiger : Notation des limites

Pour connaître le comportement d'une fonction aux extrémités de son domaine de définition, il est important d'introduire la notion de limite d'une fonction.

Limite à l’infini

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a\ ;+\infty]$.

• $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ lorsque pour $x$ suffisament grand, $f(x)$ est aussi grand que l’on veut. On note alors : $$\color{blue} \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$$
• $f(x)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $+\infty$ lorsque pour $x$ suffisament grand, $f(x)$ est aussi proche de $l$ que l’on veut. On note alors : $$\color{red} \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = l$$
• Dans cette configuration, on dit que la droite d'équation $y=l$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$. Sur le schéma, l'asymptote horizontale est $y=0$).

De manière similiaire, on définit les limites suivantes :

• $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = -\infty$
• $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = +\infty$
• $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$
• $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = l$

Limite au voisinage d'un réel

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $]a\ ; b[$ avec $a < b$.

• $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ avec $x > a$ (pour rester dans le domaine de définition) lorsque $f(x)$ est aussi grand que l'on veut quand $x$ se rapproche de $a$ tout en vérifiant $x > $a. On note alors : $$\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f(x) = \lim \limits_{\stackrel{x\rightarrow a}{x > a}} f(x)=+\infty$$
• Dans cette configuration, on dit que la droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale à la courbe représentative de $f$. Sur le schéma, l'asymptote verticale est $x=1$.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $]a\ ; b[$ avec $a < b$.

• $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $b$ avec $x < b$ (pour rester dans le domaine de définition) lorsque $f(x)$ est aussi grand que l'on veut quand $x$ se rapproche de $b$ tout en vérifiant $x < b$. On note alors : $$\lim \limits_{x\rightarrow b^-}f(x)=\lim \limits_{\stackrel{x\rightarrow b}{x < b}}f(x)=+\infty$$
• Dans cette configuration, on dit que la droite d'équation $x=b$ est asymptote verticale à la courbe représentative de $f$.

De manière similiaire, on définit les limites suivantes :

• $\lim \limits_{x \rightarrow a^+}f(x)=-\infty$
• $\lim \limits_{x \rightarrow b^-}f(x)=-\infty$ (en approchant $b$ tel que $x < b$)