Rechercher les coefficients de Bézout - TI

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Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2025. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des dates du bac 2025 ou des coefficients des matières … 💪

Type de calculatrice

TI

Prérequis

L’algorithme d’Euclide, partant de deux entiers $a=r_0$ et $b=r_1$ avec $r_0>r_1$, détermine d’abord un reste $r_2$, puis, partant de $r_1$ et de $r_2$, un autre reste $r_3$ et ainsi de suite, jusqu’au dernier reste non nul $r_n$ qui est le PGCD de $a$ et $b$.

Remonter à l’envers l’algorithme d’Euclide permet de construire les coefficients $a_n$ et $b_n$ dits de Bézout, tels que $r_n=a_n \times a+b_n \times b$.

Description

Programme

Le programme prend deux entiers $a=r_0$ et $b=r_1$ et calcule les restes successifs $r_2$, …, $r_n$.
À chaque reste $r_k$ il considère des coefficients $a_k$ et $b_k$ tels que $r_k=a_k\times a+b_k \times b$.
Comme $r_0=a$, on a $a_0=1$ et $b_0=0$.
De même, vu que $r_1=b$, on a $a_1=0$ et $b_1=1$.

Ensuite, si l’on connaît $(a_k,b_k )$ et $(a_{k+1},b_{k+1})$ on peut en déduire $(a_{k+2},b_{k+2})$.
Posons $m_k$ le quotient de $r_k$ par $r_{k+1}$ alors :

  • $r_k=m_k× r_{k+1}+r_{k+2}$ (principe de la division euclidienne de $r_k$ par $r_{k+1}$) ;
  • $r_{k+2}=r_{k+1}-r_{k+1}\times r_{k+1}+1$ (on a isolé $r_{k+2}$) ;
  • donc $(a_{k+2},b_{k+2}) =(a_k-m_k\times a_{k+1},b_k-m_k\times b_{k+1})$

Variables

$a>b$ deux entiers entrés par l’utilisateur
$r$ un entier calculé par le programme
$c$ et $d$ les coefficients correspondant à $(a_k,b_k)$ dans l’explication ci-dessus
$e$ et $f$ les coefficients correspondant à $(a_{k+1},b_{k+1})$ dans l’explication ci-dessus
$g$ et $h$ les coefficients correspondant à $(a_{k+2},b_{k+2})$ dans l’explication ci-dessus
$m$ le rapport correspondant à $m_k$ ci-dessus

Algorithme

|demander $a$ et $b$
|$r=$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$
|$(c,d)=(1,0)$ et $(e,f)=(0,1)$
|tant que $r\not=0$
|$m$ prend la valeur du quotient euclidien de $(a\div b)$
|$r$ prend la valeur de $a-m\times b$
|$g$ prend la valeur de $c-m\times e$
|$h$ prend la valeur de $d-m\times f$
|$a$ prend la valeur de $b$, $b$ prend la valeur de $r$
|$c$ prend la valeur de $e$, $d$ prend la valeur de $f$
|$e$ prend la valeur de $g$, $f$ prend la valeur de $h$
|fin du tant que
|afficher $a$ (le PGCD)
|afficher $(c,d)$

Programme TI

Algorithme recherche coefficients de Bezout-Ti-mathématiques-terminale S-schoolmouv

  • prgmentrer « Prompt » alphamath « A » alpha .  « : »
    prgmentrer « Prompt » alphaapps « B » entrer
  • alphamath « A »  - 
    math « NUM » entrer « ent( »
    alphamath « A » ÷ alphaapps « B » )
     ×  alphaapps « B » sto ➔ «  ➔ » alpha$\times$ « R » entrer
  •  1  sto ➔ «  ➔ » alphaprgm « C » alpha .  « : »
     0  sto ➔ «  ➔ » alpha$x^{-1}$ « D » alpha .  « : »
     0  sto ➔ «  ➔ » alphasin « E » alpha .  « : »
     1  sto ➔ «  ➔ » alphacos « F » entrer
  • prgm entrer « While » alpha$\times$ « R »
    2ndemath « ≠ » 0 entrer
  • math « NUM » entrer « ent( »
    alphamath « A » ÷ alphaapps « B » )
    sto ➔ «  ➔ » alpha$\div$ « M » entrer
  • alphamath « A »  -  alpha$\div$ « M »  ×  alphaapps « B »
    sto ➔ «  ➔ » alpha$\times$ « R » entrer
    alphaprgm « C »  -  alpha$\div$ « M »  ×  alphasin « E »
    sto ➔ «  ➔ » alpha^ « G »
    alpha$x^{-1}$ « D »  -  alpha$\div$ « M »  ×  alphacos « F »
    sto ➔ «  ➔ » alpha   « H »
  • alphaapps « B » sto ➔ «  ➔ » alphamath « A » alpha .  « : »
    alpha$\times$ « R » sto ➔ «  ➔ » alphaapps « B » entrer
    alphasin « E » sto ➔ «  ➔ » alphaprgm « C » alpha .  « : »
    alphacos « F » sto ➔ «  ➔ » alpha$x^{-1}$ « D » entrer
    alpha^ « G » sto ➔ «  ➔ » alphasin « E » alpha .  « : »
    alpha   « H » sto ➔ «  ➔ » alphacos « F » entrer
  • prgm « End » entrer entrer
  • prgm « Disp » entrer alphamath « A » entrer
    prgm « Disp » entrer alphaprgm « C » entrer
    prgm « Disp » entrer alpha$x^{-1}$ « D »
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