Rechercher les coefficients de Bézout - Casio

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Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2025. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des dates du bac 2025 ou des coefficients des matières … 💪

Type de calculatrice

Casio

Prérequis

L’algorithme d’Euclide, partant de deux entiers a=r0a=r_0 et b=r1b=r_1 avec r0>r1r_0>r_1, détermine d’abord un reste r2r_2, puis, partant de r1r_1 et de r2r_2, un autre reste r3r_3 et ainsi de suite, jusqu’au dernier reste non nul rnr_n qui est le PGCD de aa et bb.

Remonter à l’envers l’algorithme d’Euclide permet de construire les coefficients ana_n et bnb_n dits de Bézout, tels que rn=an×a+bn ×br_n=a_n \times a+b_n \times b.

Description

Programme

Le programme prend deux entiers a=r0a=r_0 et b=r1b=r_1 et calcule les restes successifs r2r_2, …, rnr_n.
À chaque reste rkr_k il considère des coefficients aka_k et bkb_k tels que rk=ak×a+bk×br_k=a_k\times a+b_k \times b.
Comme r0=ar_0=a, on a a0=1a_0=1 et b0=0b_0=0.
De même, vu que r1=br_1=b, on a a1=0a_1=0 et b1=1b_1=1.

Ensuite, si l’on connaît (ak,bk)(a_k,b_k ) et (ak+1,bk+1)(a_{k+1},b_{k+1}) on peut en déduire (ak+2,bk+2)(a_{k+2},b_{k+2}).
Posons mkm_k le quotient de rkr_k par rk+1r_{k+1} alors :

  • rk=mk×rk+1+rk+2r_k=m_k× r_{k+1}+r_{k+2} (principe de la division euclidienne de rkr_k par rk+1r_{k+1}) ;
  • rk+2=rk+1rk+1×rk+1+1r_{k+2}=r_{k+1}-r_{k+1}\times r_{k+1}+1 (on a isolé rk+2r_{k+2}) ;
  • donc (ak+2,bk+2)=(akmk×ak+1,bkmk×bk+1)(a_{k+2},b_{k+2}) =(a_k-m_k\times a_{k+1},b_k-m_k\times b_{k+1})

Variables

a>ba>b deux entiers entrés par l’utilisateur
rr un entier calculé par le programme
cc et dd les coefficients correspondant à (ak,bk)(a_k,b_k) dans l’explication ci-dessus
ee et ff les coefficients correspondant à (ak+1,bk+1)(a_{k+1},b_{k+1}) dans l’explication ci-dessus
gg et hh les coefficients correspondant à (ak+2,bk+2)(a_{k+2},b_{k+2}) dans l’explication ci-dessus
mm le rapport correspondant à mkm_k ci-dessus

Algorithme

|demander aa et bb
|r=r= le reste de la division euclidienne de aa par bb
|(c,d)=(1,0)(c,d)=(1,0) et (e,f)=(0,1)(e,f)=(0,1)
|tant que r0r\not=0
|mm prend la valeur du quotient euclidien de (a÷b)(a\div b)
|rr prend la valeur de am×ba-m\times b
|gg prend la valeur de cm×ec-m\times e
|hh prend la valeur de dm×fd-m\times f
|aa prend la valeur de bb, bb prend la valeur de rr
|cc prend la valeur de ee, dd prend la valeur de ff
|ee prend la valeur de gg, ff prend la valeur de hh
|fin du tant que
|afficher aa (le PGCD)
|afficher (c,d)(c,d)

Programme Casio

Algorithme coefficients de Bezout-schoolmouv-terminale-s

  • SHIFTVARSF4 « ? » AlphaX,θ,TX,\theta,T « A »
    SHIFTVARSF6 « ▷ » F5 « : »
    SHIFTVARSF4 « ? » Alphalog « B » EXE « ↵ »
  • AlphaX,θ,TX,\theta,T « A »  - 
    OPTNF6 « ▷ » F4 « NUM » F2 « Int »
    ( AlphaX,θ,TX,\theta,T « A » ÷ Alphalog « B » )
     ×  Alphalog « B » Alpha6 « R » EXE « ↵ »
  • 1 Alphaln « C » SHIFTVARSF6 « ▷ » F5 « : »
    0 Alphasin « D » SHIFTVARSF6 « ▷ » F5 « : »
    0 Alphacos « E » SHIFTVARSF6 « ▷ » F5 « : »
    1 Alphatan « F » EXE « ↵ »
  • SHIFTVARSF1 « COM » F6 « ▷ » F6 « ▷ » F1 « While » Alpha6 « R » SHIFTVARSF6 « ▷ » F3 « REL » F2 «  » 0 EXE « ↵ »
  • OPTNF6 « ▷ » F4 « NUM » F2 « Int »
    ( AlphaX,θ,TX,\theta,T « A » ÷ Alphalog « B » )
     ×  Alphalog « B » Alpha7 « M » EXE « ↵ »
  • AlphaX,θ,TX,\theta,T « A »  -  Alpha7 « M »
     ×  Alphalog « B » Alpha6 « R » EXE « ↵ »
    Alphaln « C »  -  Alpha7 « M »
     ×  Alphacos « E » Alphaa+b/c « G »EXE « ↵ »
    Alphasin « D »  -  Alpha7 « M »
     ×  Alphatan « F » AlphaF↔D « H »EXE « ↵ »
  • Alphalog « B » AlphaX,θ,TX,\theta,T « A »
    SHIFTVARSF6 « ▷ » F5 « : »
    Alpha6 « R » Alphalog « B » EXE « ↵ »
    Alphacos « E » Alphaln « C »
    SHIFTVARSF6 « ▷ » F5 « : »
    Alphatan « F » Alphasin « D » EXE « ↵ »
    Alphaa+b/c « G » Alphacos « E »
    SHIFTVARSF6 « ▷ » F5 « : »
    AlphaF↔D « H » Alphatan « F » EXE « ↵ »
  • SHIFTVARSF1 « COM » F6 « ▷ » F6 « ▷ » F2 « WhileEnd » EXE « ↵ »
  • AlphaX,θ,TX,\theta,T « A » SHIFTVARSF5 « ◄ »
    Alphaln « C » SHIFTVARSF5 « ◄ »
    Alphasin « D »
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