Savoir-faire : Savoir conjecturer la limite d’une suite

La conjecture n’est pas une démonstration, c’est une généralité déduite de l’observation, une hypothèse.

Conjecturer la limite d’une suite est donc l’observation du comportement de la suite pour un $n$ élevé.

Soit la suite $u_n=\dfrac{u_n}{2u_n+1}$

Calculer quelques valeurs de la suite.

$$u_0= 0$$ $$u_1 =0,333$$ $$u_2 =0,4$$ $$u_3 =0,42$$ $$u_4 =0,44$$

$$u_{100}= 0,49$$

Conjecturer la limite de la suite.

Si $n$ tend vers des valeurs très supérieures à $1$, on voit que la suite tend vers $\dfrac{u_n}{2u_n}$, car le terme $+1$ au dénominateur devient trop petit par rapport à $n$. La suite tend donc vers $0,5$, ce qui est vérifié dans l’étape $1$.

$$\lim \limits_{n\rightarrow \infty} u_n=0,5$$