Savoir-faire : Savoir étudier une fonction exponentielle de la forme exp(u)

• Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, la fonction $e^{u}$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée est $u' \times e^{u}$.
• La fonction $e^{u}$ a le même sens de variation que la fonction (car c’est la composée de cette fonction $u$ avec la fonction exponentielle qui est croissante).

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) =e^{ x^{2} +x}$. Étudions ses variations.

Calcul de la dérivée

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x)= (2x+1) \times e^{(x^2+x)}$

Étude du signe de la dérivée

• Sur $]-\infty; -\dfrac {1}{2}],:: 2x+1 \leq 0$ donc $f'(x) \leq 0$ donc $f$ est décroissante.
• Sur $[-\dfrac {1}{2},+\infty [, ::2x+1 \geq 0$ donc $f'(x) \geq 0$ donc $f$ est croissante.

Tableau de variations

Calcul des limites

• $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=+\infty$
• $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$