Symboles : égalité, inégalité et approximation
Les notions d’égalité ou d’inégalité sont des notions essentielles en mathématiques car elles sont à la base des équations et des inéquations qui permettent de traduire des problèmes réels en language mathématique.
Égalité
Égalité
Une égalité se note où et désignent le même objet mathématique.
- Une égalité reste vraie si on applique la même opération des deux côtés de l’égalité (méthode de résolution des équations).
Soit une fonction définie sur un domaine .
Si alors .
Inégalité
Inégalité
On est dans le cas d’une inégalité dès lors que l’affirmation est fausse, c’est-à-dire que et désignent des objets mathématiques différents, donc est différent de , noté .
- À l’inverse d’une égalité, une inégalité ne reste pas forcément vraie lorsque l’on applique la même opération des deux côtés.
Soit et , on a bien mais car la fonction cosinus est -périodique.
- Une inégalité permet de comparer la valeur de deux réels.
Soit , :
, est strictement plus petit que
, est strictement plus grand que
, est plus petit ou égal à
, est plus petit ou égal à
Toute inégalité vérifie les propriétés suivantes, pour :
- Si et , alors , il s’agit de la transitivité.
- Toute fonction strictement croissante peut être appliquée aux deux termes d’une inégalité tout en la conservant (sous réserve de rester sur le domaine de définition de la fonction).
Sur ,
Sur, ,
- Toute fonction strictement décroissante peut être appliquée aux deux termes d’une inégalité, inverse le sens de l’inégalité (sous réserve de rester sur le domaine de définition de la fonction).
Sur ,
Approximation
Approximation
- La phrase mathématique « est approximativement égal à », notée ou , signifie que et sont quasiment égaux compte tenu des ordres de grandeurs des autres valeurs du problème.
Si l’on calcule la distance Terre-Lune qui vaut et que notre calcul donne comme résultat , on peut considérer que .
- Pour un problème donné, soit la valeur théorique et la valeur calculée. S’il est possible de garantir que la valeur calculée appartient à un intervalle , alors on dit que la valeur est égale à plus ou moins , noté .
- est l’approximation maximale commise sur la valeur .
Une règle est graduée en millimètres, par conséquent toute mesure effectuée à l’aide d’une règle sera précise au millimètre près.
Ainsi, si l’on mesure la longueur d’une feuille de format A8 , la mesure sera entre et , soit .