Sujet bac S - Annale physique-chimie 2010

Cet exercice est constitué de trois parties indépendantes. Chaque partie correspond à l’étude d’un texte historique scientifique. Le premier concerne l’étude d’une réaction d’estérification. Les deux suivants traitent de l’étude de la trajectoire des satellites de Jupiter.

Plusieurs crises biologiques ont affecté le monde vivant au cours des temps géologiques. La limite Secondaire-Tertiaire, survenue il y a 65 millions d'années, correspond à l'une de ces crises.

1. Texte de Marcellin Berthelot (chimiste français 1827 - 1907) sur la réaction d’estérification

Dans cette partie, on étudie la transformation chimique entre l’acide éthanoïque et l’éthanol afin de comprendre la phrase notée en gras dans le texte.

Données :

Au laboratoire, on mélange dans un flacon, un volume V₁ = 57 mL d’acide éthanoïque et un volume V₂ = 58 mL d’éthanol. Le flacon est ensuite hermétiquement fermé et placé dans l’obscurité à température ambiante. On laisse le système évoluer pendant six mois  ; après cette durée, l’état final du système n’est pas encore atteint.

1.1. Étude des quantités de matière initiales des réactifs

• 1.1.1. Calculer la quantité de matière $n_1$ d’acide éthanoïque introduite dans le flacon.
• 1.1.2. Montrer que le mélange réalisé est équimolaire.

1.2. Étude du milieu réactionnel au bout de six mois
Au bout de six mois, le flacon est ouvert et on y prélève un volume V = 2,0 mL du mélange. L'acide éthanoïque restant dans ce prélèvement est dosé, à froid, à l’aide d’une solution d’hydroxyde de sodium de concentration $C_B = 1,00mol.L^{-1}$ en présence de phénolphtaléine comme indicateur coloré de fin de dosage. Le volume équivalent est égal à V_E = 12,0 mL.

• 1.2.1. À l’aide des formules semi-développées, écrire l’équation de l’équilibre chimique d’estérification entre l’acide éthanoïque et l’éthanol.
• 1.2.2. Écrire l’équation de la réaction chimique support du dosage.
• 1.2.3. Définir l'équivalence du dosage et en déduire la quantité de matière $n_R$ d’acide éthanoïque restant au bout de six mois dans le prélèvement de 2,0 mL.
• 1.2.4. En supposant que le volume du milieu réactionnel est resté constant au cours du temps, en déduire la quantité de matière $n_{R}'$ d’acide éthanoïque restant au bout de six mois dans le milieu réactionnel.
• 1.2.5. Déterminer les quantités de matière de toutes les espèces chimiques présentes dans le flacon au bout de six mois. On peut s'aider éventuellement d’un tableau d’avancement.
• 1.2.6. À partir des résultats obtenus à la question précédente, justifier la phrase en gras dans le texte deBerthelot et Péan de Saint Gilles. Aucun calcul n’est demandé.

2. Texte d’Isaac Newton (physicien anglais 1642 – 1726) sur la loi de gravitation universelle

Dans cette partie, on étudie le mouvement du satellite Callisto par rapport à la planète Jupiter.

Données :

• constante de gravitation universelle : $G=6,67\times 10^{-11}\ \text{m}^{3}.\text{kg}^{-1}.\text{s}^{-2}$  ;
• la planète Jupiter de centre J et son satellite Callisto de centre C sont des astres que l’on considère à répartition de masse à symétrie sphérique ;
• la masse de Jupiter est égale à $M_J = 1,90 \times 10^{27}\text{ kg}$ et celle de Callisto est notée $M_C$  ;
• Callisto décrit autour de Jupiter une orbite circulaire de rayon $r = 1,88 \times 10^6\ \text{ km}$.

Le mouvement de Callisto est étudié dans le référentiel galiléen lié au centre de Jupiter, appelé référentiel jovicentrique.

2.1. Sans souci d’échelle, représenter sur un schéma la force $\overrightarrow{F}_{JC}$ exercée par Jupiter sur le satellite Callisto en orbite circulaire autour de Jupiter.

2.2. À propos des forces, donner la signification de chacune des deux parties de phrase en gras à la fin du texte de Newton.

2.3. En utilisant les notations de l’énoncé, donner l’expression vectorielle de la force $\overrightarrow{F}_{JC}$ . On note $\overrightarrow{u}_{JC}$ un vecteur unitaire de la droite (JC) dirigé de J vers C.

2.4. En appliquant la seconde loi de Newton à Callisto, déterminer l’expression du vecteur accélération $\overrightarrow{a}_{C}$ de son centre C.

2.5. On considère que le mouvement de Callisto est uniforme sur son orbite. On note $v_C$ la vitesse du centre C du satellite Callisto. Donner l’expression de l’accélération $a_C$ du centre C de Callisto en fonction de $v_C$ et $r$.

2.6. Montrer que la vitesse $v_C$ peut s’exprimer par : $V_C = \sqrt{\frac{G.M_J}{r}}$

2.7. Étude de la période de révolution du satellite Callisto autour de Jupiter.

3. Texte de Galilée (physicien italien 1564 - 1642) sur la découverte de quatre satellites de Jupiter

Par rapport à Jupiter, les orbites des satellites sont pratiquement circulaires et appartiennent quasiment au même plan (P) qui est celui de l'équateur de Jupiter. Les orbites sont représentées sur la figure 1. Les positions des satellites sont indiquées à une date donnée. Le schéma a été réalisé sans souci d’échelle.

3.1. Étude de la trajectoire des satellites de Jupiter observés par Galilée.
On admet que Galilée, regardant dans sa lunette depuis un point de la Terre, appartient au plan (P) défini précédemment.

3.2. Étude de la période de révolution du satellite Callisto autour de Jupiter.
La figure 2 donne les croquis réalisés à l’échelle par Galilée entre le 8 février 1610 et le 2 mars 1610.

La première partie de cet exercice traite de l’utilisation du rhénium 186 et la seconde partie de l’utilisation du phosphore 32. On s’intéresse à l'aspect physique des phénomènes, les aspects biologiques ne sont pas pris en compte.

Données :

• temps de demi-vie du rhénium $186 : t_{1/2} (^{186}_{Z}Re) = 3,7$ j (jours) ;
• constantes radioactives : $\lambda (^{186}_{Z}Re) = 2,2 \times10^{-6} \text{s}^{-1}$ ; $\lambda (^{32}_{15}P) = 5,6 \times10^{-7} \text{s}^{-1}$ ;
• masse molaire du rhénium 186 : $M(^{186}_{Z}Re) = 186\ \text{g}\cdot \text{mol}^{-1}$ ;
• masses de quelques noyaux et particules : $m(^{32}_{15}P)=5,30803 \times 10^{-26}\text {kg}$ ;
  $m(^{32}_{16}P)=5,30763 \times 10^{-26} \text{kg}$ ;
  $m\big(_{\scriptsize-1}^{~~\scriptsize0} e\big)=\small 9,1 \times 10^{-31} \text{kg}$.
• célérité de la lumière dans le vide : $c = 3,0\times 10^8\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ ;
• constante d'Avogadro : $N_A = 6,0 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$
• électron-volt : $1\ eV = 1,6 \times 10^{-19} \text{J}$.

1. Injection intra-articulaire d’une solution contenant du rhénium 186

1.1. Le rhénium $186 (^{186}_{Z}Re)$ est un noyau radioactif $\beta ^-$.
Sur le diagramme (N, Z) de la figure 3 ci-contre où N représente le nombre de neutrons et Z le nombre de protons, la courbe tracée permet de situer la vallée de stabilité des isotopes. Le point représentatif du noyau de rhénium 186 est placé au-dessus de cette courbe.

1.2. Le produit injectable se présente sous la forme d’une solution contenue dans un flacon de volume V_flacon = 10 mL ayant une activité A₀ = 3700 MBq à la date de calibration, c'est-à-dire à la sortie du laboratoire pharmaceutique. Pourquoi est-il précisé "à la date de calibration" en plus de l’activité ?

1.3. Calcul du volume de la solution à injecter.

2. Injection intraveineuse d'une solution contenant du phosphore 32

Carte d’identité du phosphore 32 :

L’injection en voie veineuse d’une solution contenant du phosphore 32 radioactif permet dans certains cas de traiter une production excessive de globules rouges au niveau des cellules de la moelle osseuse.

2.1. Donner la composition du noyau de phosphore 32.

2.2. À l’aide des masses données en début d’exercice et de la carte d’identité du phosphore 32, vérifier par un calcul la valeur E de l'énergie du rayonnement émis par la désintégration du phosphore 32.

2.3. Pour la très grande majorité d’entre eux, les noyaux fils obtenus lors de cette transformation ne sont pas dans un état excité. À quel type de rayonnement particulièrement pénétrant le patient n'est-il pas exposé ?

2.4. Rappeler la loi de décroissance du nombre N(t) de noyaux radioactifs d’un échantillon en fonction de $\lambda$ et $N_0$ (nombre de noyaux radioactifs à la date t = 0).

2.5. Définir le temps de demi-vie radioactive $t_{1/2}$ et établir la relation qui existe entre la demi-vie et la constante de désintégration radioactive $\lambda$.

2.6. Vérifier, par un calcul, la valeur approchée du temps de demi-vie proposée dans la carte d’identité ci-dessus.

Le principe de la pile à combustible est le suivant : une réaction électrochimique contrôlée, entre du dihydrogène et le dioxygène de l’air, produit simultanément de l’électricité, de l’eau et de la chaleur.
Cette réaction s’opère au sein d’une cellule élémentaire composée de deux électrodes, de forme ondulée, séparées par un électrolyte (figure 4).

L’électrolyte est constitué d’une membrane polymère échangeuse de protons $H^+$.
Cette pile est un empilement de 170 cellules élémentaires identiques. Le dihydrogène est stocké à bord sous forme de gaz comprimé à la pression de 700 bars ;le volume du réservoir est $\text{V} = 15,0\ \text{L}$.
Lorsque le réservoir de dihydrogène est plein, la masse du dihydrogène disponible est de 3,0 kg.

Dans cet exercice, on étudie le principe de fonctionnement d’une cellule élémentaire et la durée d’autonomie de la pile GÉNÉPAC.

Données :

• masses molaires atomiques : $M\text{(H)}=1,0 \text{g}\cdot \text{mol}^{-1}$ ; $M\text{(O)}=16,0 \text{g}\cdot \text{mol}^{-1}$ ;
• constante d’Avogadro : $N_A=6,0\times10^{23} \text{mol}^{-1}$ ;
• constante des gaz parfaits : $R=8,314\ \text{J}\cdot \text{K}^{-1}\cdot \text{mol}^{-1}$ ;
• pression normale : $P_0=1,01\times10^5\ \text{Pa}$ ;
• température normale : $T_0=273\ K$ ;
• loi des gaz parfaits dans les conditions normales de pression et de température : $P_0\cdot V_0=n\cdot R\cdot T_0$, où n représente la quantité de matière de gaz et $V_0$ son volume ;
• charge électrique élémentaire : $e=1,6\times10^{-19}\text{C}$ ;
• couples d’ocydo-réduction mis en jeu dans la réaction : $\text{H}^+(\text{aq})/\text{H}_2(g)$ et $O_2(g)/H_2O(l)$.

1. Principe de fonctionnement d’une cellule élémentaire

1.1 Réactions dans la cellule 1.1.1 Écrire les équations des réactions à chaque électrode quand la pile débite. 1.1.2 préciser pour chaque réaction s’il s’agit d’une oxydation ou d’une réduction. 1.1.3. Montrer que l’équation de la réaction chimique mise en jeu dans le fonctionnement de la pile est : $2\ \text{H}_2(g)+O_2(g)=2\ \text{H}_2(l)$

1.2. Mouvement des porteurs de charge Sur la figure 5 de l’annexe, indiquer :
- le sens de circulation et la nature des porteurs de charges circulant à l’extérieur de la pile ; - le sens conventionnel de circulation du courant électrique ; - la polarité de chaque électrode ; - le sens de circulation des protons H⁺ dans la membrane polymère (électrolyte).

1.3. Quel peut être l’intérêt d’utiliser des électrodes ondulées plutôt que des électrodes planes ?

2. Durée d’autonomie de la pile GÉNÉPAC
Les 170 cellules élémentaires constituant la pile sont montées électriquement en série. Dans certaines conditions d’utilisation, on peut considérer que le courant circulant dans les cellules élémentaires est constant, d'intensité /=120 A.

2.1. Quantités de matière de dihydrogène
2.1.1 En utilisant la masse de dihydrogène disponible dans le réservoir plein, calculer la quantité de matière de dihydrogène $\text{n}_\text{R}(\text{H}_2)$ correspondante. En considérant que le dihydrogène est un gaz parfait, déterminer le volume de dihydrogène $\text{V}_0$, pris dans les conditions normales de pression et de température, qu’il a fallu comprimer pour remplir le réservoir.
2.1.2. On note $n_c(\text{H}_2)$ la quantité de matière de dihydrogène disponible pour chaque cellule élémentaire. Quelle est la relation entre $n_c(\text{H}_2)$ et $n_\text{R}(\text{H}_2)$ ?

2.2. Quantité d’électricité On note $\Delta t$ la durée de fonctionnement d’une cellule élémentaire.
2.2.1. Donner l’expression de la quantité d’électricité $\text{Q}$ échangée par une cellule élémentaire pendant une durée $\Delta t$.
2.2.2 On note $n(e-)$ la quantité de matière d’électrons échangés pendant cette durée $\Delta t$. Donner l’expression de $\text{Q}$ en fonction de $n(e_-)$, $\text{N}_\text{A}$ et $e$.
2.2.3. Donner la relation entre la quantité de matière d’électrons échangés $n(e_-)$ et la quantité de matière $n_c(H_2)$. Justifier.

2.3. Durée d’autonomie de la pile GÉNÉPAC
Par construction, la durée d’autonomie de la pile est égale à la durée de foctionnement $\Delta t$ d’une cellule élémentaire.
2.3.1. Montrer que $\Delta t =\frac{2\cdot n_c(H_2)\cdot \text{N}_\text{A}\cdot e}{\text{N}_\text{I}}$
2.3.2. Calculer la durée théorique $\Delta t$ de fonctionnement de la pile GÉNÉPAC.