Sujet bac S - Annale physique-chimie 2011 - Spécialité

Après une étude de la réaction entre l’acide lactique et l’eau, on vérifiera par un titrage la teneur en acide lactique dans un détartrant et on s’intéressera à l’action de ce détartrant sur le tartre.

Les parties 1, 2 et 3 sont indépendantes.

1. L’acide lactique

Le détartrant à base d’acide lactique est conditionné sous forme liquide dans un petit flacon. La notice d’utilisation indique qu’il faut verser la totalité de son contenu dans le réservoir de la cafetière et qu’il faut ajouter de l’eau. On prépare ainsi un volume V = 0,60 L d’une solution aqueuse d’acide lactique de concentration molaire en soluté apporté $c = 1\ \text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$. Après agitation, la valeur du pH mesuré est 1,9.

Données :

1.1. La molécule d’acide lactique

Recopier la formule de l'acide lactique puis entourer et nommer le groupe caractéristique responsable de l’acidité de la molécule.

1.2. Réaction de l’acide lactique avec l’eau

1.3. Constante d’acidité de l’acide lactique

2. Titrage de l’acide lactique dans un détartrant

Sur l’étiquette de la solution commerciale de détartrant, on trouve les indications suivantes : « contient de l’acide lactique, 45 % en masse ».

Données :

• masse molaire de l’acide lactique : $M = 90,0 \text{g} \cdot \text{mol}^{-1}$;
• masse volumique du détartrant : $\rho = 1,13 \text{kg}\cdot \text{L}^{-1}$.

Afin de déterminer la concentration molaire c en acide lactique apporté dans la solution de détartrant, on réalise un titrage acido-basique.
La solution de détartrant étant trop concentrée, on prépare par dilution une solution 10 fois moins concentrée (on note $c_d$ la concentration de la solution diluée).

2.1. Dilution

On dispose des lots de verrerie A, B, C, D suivants :

Choisir le lot de verrerie permettant de réaliser la dilution le plus précisément. Justifier l’élimination des trois autres lots de verrerie.

2.2. Titrage acido-basique

On réalise le titrage pH-métrique d’un volume $V_A = 5,0\ \text{mL}$ de solution diluée par une solution aqueuse d’hydroxyde de sodium (Na⁺(aq) + HO^–(aq)) de concentration molaire en soluté apporté $c_B = 0,20\ \text{mol}\cdot \text{L}^{-1}$. On obtient la courbe de LA FIGURE A2.

3. Action du détartrant sur le tartre

Dans cette partie, on cherche à évaluer le temps nécessaire à un détartrage efficace, en étudiant la cinétique d’une transformation réalisée au laboratoire.

Le tartre est essentiellement constitué d’un dépôt solide de carbonate de calcium de formule $CaCO_3$. Lors du détartrage, l’acide lactique réagit avec le carbonate de calcium suivant la réaction d’équation :

$\small {CaCO_3(s)} + \small{2AH(aq)} = \small{CO_2(g)} + \small{Ca_2}+(aq) + \small{2A^-(aq)}+\small{H_2O(l)}$

Dans un ballon, on verse un volume V ’ = 10,0 mL de la solution diluée de détartrant précédemment dosée. On introduit rapidement une masse m = 0,20 g de carbonate de calcium. On ferme hermétiquement le ballon avec un bouchon muni d’un tube à dégagement relié à un capteur de pression. Ce capteur mesure la surpression due au dioxyde de carbone produit par la réaction qui se déroule à la température constante de 298 K. Cette surpression est équivalente à la pression du dioxyde de carbone seul dans le ballon.
Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs de la pression du dioxyde de carbone au cours du temps.

À chaque instant, l’avancement x de la réaction est égal à la quantité de matière $n(CO_2)$ de dioxyde de carbone formé. Un logiciel permet de calculer ses valeurs.

La figure ci-contre représente l’évolution de l’avancement au cours du temps.

Données :

• loi des gaz parfaits : $P.V = n.R.T$ ;on rappelle que dans cette expression, la pression P est en pascals (Pa), le volume V en mètres cubes (m³), la quantité de matière n en moles (mol) et la température T en kelvins (K) ;
• température lors de l’expérience : T = 298 K ;
• constante des gaz parfaits : $R = 8,314\ \text{J}\cdot \text{mol}^{-1}\cdot{K}^{-1}$;
• volume occupé par le dioxyde de carbone à l’état final : $V_g = 310\ \text{mL}$ ;
• vitesse volumique de réaction  : $V=\frac{1}{V'}.\frac{dx}{dt}$

3.1. En considérant que le dioxyde de carbone se comporte comme un gaz parfait, donner l’expression de l’avancement x en fonction de la pression du dioxyde de carbone $P(CO_2)$ et du volume $V_g$.
3.2. Calculer la valeur de l’avancement à l’état final.
3.3. Vérifier que cette valeur est en accord avec la figure A3.
3.4. Déterminer graphiquement le temps de demi-réaction $t_{1/2}$. La méthode doit apparaître sur la figure A3.
3.5. Comment évolue la vitesse volumique de réaction au cours du temps ? Justifier votre réponse à l’aide de la figure A3.
3.6. Lors du détartrage d’une cafetière, le mode d’emploi proposé conduit à utiliser une solution un peu plus concentrée en acide lactique et à chauffer cette solution.
Quelle est en effet la conséquence sur la durée de détartrage ?

Dans cet exercice, on présente trois courts extraits de ces deux livres.
Il s’agit de retrouver certains résultats avancés par Galilée concernant la chute verticale dans l’air d’un boulet sphérique en fer, lâché sans vitesse initiale.
Pour cette étude, on choisit le référentiel terrestre, supposé galiléen, auquel on adjoint un repère d’espace (Ox) vertical orienté vers le bas (figure 1).

Donnée :

• intensité du champ de pesanteur, supposé uniforme : $g = 9,8 m.s^{-2}$ ;

1. Modélisation par une chute libre

1.1. Étude des hauteurs de chute

Le boulet est lâché au point O, d’abscisse $x_0 = 0$ à la date $t_0 = 0$. On suppose l’action de l’air négligeable ; dans ce cas, l’équation horaire du mouvement du centre d’inertie G du boulet est : $x(t) = \frac{1}{2} g.t^2$.

1.2. Étude de la durée de la chute Les points de vue d’Aristote et de Galilée, au sujet de l’influence de la masse m du boulet sur la durée totale ∆t de sa chute, diffèrent.

1.2.1. Parmi les propositions ci-dessous, attribuer celle qui correspond à la théorie d’Aristote et celle qui correspond à la théorie de Galilée :

1.2.2. En utilisant l'expression $x(t) = \frac{1}{2} \text{g}\cdot \text{t}^2$, calculer la durée $\Delta t$ de la chute d’un boulet qui tombe d’une hauteur totale H = 57 m (100 coudées). Ce résultat est différent de la valeur annoncée dans l’extrait n°2. Proposer une explication à l’écart constaté.

2. Chute réelle

Galilée admet plus loin que les deux boules, de masses respectives une et cent livres, arrivent au sol avec un léger écart.

On considère que trois forces s’exercent sur un boulet pendant sa chute verticale : son poids $\overrightarrow{P}$ , la poussée d’Archimède $\overrightarrow{\Pi}$ et la force de frottement $\overrightarrow{f}$.

La norme de la force de frottement a pour expression : $f = \frac{1}{2} \pi \cdot R^2 \cdot \rho _{air} \cdot C \cdot V^2$

où v est la vitesse du centre d’inertie du boulet, R est le rayon du boulet et C est une constante sans unité.

Données :

• masse volumique de l’air : $ρ_{air} = 1,29\ \text{kg}\cdot \text{m}^{-3}$ ;
• masse volumique du fer : $ρ_{fer} = 7,87\times10^3\ \text{kg} \cdot \text{m}^{-3}$  ;
• volume d’une sphère : $V_s = \frac{4}{3}\pi \cdot \text{R}^3$

2.1. Lors de la chute, représenter ces trois forces sur un schéma sans souci d’échelle.

2.2. Le poids et la poussée d’Archimède sont constants pendant la chute d’un boulet. Établir le rapport de leurs expressions et en déduire que la poussée d’Archimède est négligeable.

2.3. Étude dynamique

2.4. On considère deux boulets sphériques $B_1$ et $B_2$ en fer de masses respectives $m_1 = 1$ livre et $m_2 = 100$ livres et de rayons respectifs $R_1 = 2,2$ cm et $R_2 = 10,1$ cm. On note $v_{1l}$ et $v_{2l}$ les vitesses limites respectives des boulets $B_1$ et $B_2$.

Exprimer le rapport $\frac{V_{2l}}{V_{1l}}$ en fonction des seuls rayons $R_1$ et $R_2$ et en déduire le boulet qui a la vitesse limite la plus élevée.

2.5. Un logiciel permet de simuler les évolutions de la vitesse v(t) (figure 2) et de la position x(t) du boulet pendant sa chute (figure 3 et zoom de la figure 3 sur la figure 4). Ces courbes sont obtenues pour les trois situations suivantes :

• la chute du boulet $B_1$ dans l’air (courbes c et c’),
• la chute du boulet $B_2$ dans l’air (courbes b et b’),
• la chute libre (courbes a et a’).

L’objet de cet exercice porte sur l’étude des sons émis par des violons, la vérification de l’accord entre deux violons et la participation du chef d’orchestre à ces réglages.

Pour tout l’exercice, on considère la célérité v du son dans l’air, à 20 °C, égale à $340\ \text{m}\cdot \text{s} ^{-1}$.

Les trois parties de l’exercice sont indépendantes.

1. Le violon

La figure 5 représente les enregistrements réalisés dans les mêmes conditions, de sons de fréquence $f_1 = 440\ \text{Hz} (\text{la}_3)$ émis par un violon d’une part et par un diapason d’autre part.

1.1. Parmi les caractéristiques physiques d’un son musical figurent la hauteur et le timbre. En analysant les deux oscillogrammes de la figure 5, préciser la caractéristique qui différencie les sons des deux émetteurs.

1.2. Quel nom donne-t-on à la fréquence $f_1$ ?

1.3. Calculer les valeurs des fréquences $f_2$ et $f_3$ présentes dans le spectre fréquentiel du violon.

2. L’ensemble des violons

2.1. Les battements
Avant le concert, les violonistes cherchent à accorder leur instrument en jouant la note $\text{la}_3$ de fréquence égale à 440 Hz. La fréquence émise par chaque instrument n’étant pas rigoureusement égale à 440 Hz, le son résultant est alternativement plus ou moins intense : on entend des battements qui sont des variations périodiques de l’amplitude sonore.

Pour rendre compte de ce phénomène, on simule à l’aide d’un ordinateur des signaux dont les fréquences $f_a$ (courbe 1 de la figure 6) et $f_b$ (courbe 2 de la figure 6) diffèrent légèrement : $f_a = 420 Hz$ et $f_b = 460 Hz$. Ensuite, on effectue l’addition de ces deux signaux (courbe 3 de la figure 6).
Les courbes obtenues sont rassemblées figure 6 ci-dessous.

2.2. Comment accorder les violons ?

2.3. Niveau sonore et intensité

Au début du concert, un groupe musical comportant dix violons se produit.
On rappelle que le niveau sonore, exprimé en décibels (dB) d’une source sonore est donné par la formule : $L_1 =10\times log \dbinom{I_1}{I_0}$

Avec :

Soit pour n sources sonores  : $L_n = 10\times log\dbinom{n.I_1}{I_0}$

On rappelle : $\text{log}\ (a \times b)=\text{log}\ a + \text{log}\ b$

3. Conduite d’un orchestre à l’oreille

L’octave entre deux notes, obtenue historiquement en divisant la longueur d’une corde d’instrument par deux, pour obtenir ainsi une fréquence double, est devenue le support des gammes en musique. Dans la gamme dite tempérée, l’octave est divisée en douze intervalles de fréquences appelés demi-tons tels que le rapport des fréquences de deux notes successives soit le même.
Si on note $f_1 , f_2,…f_i, f_{i+1}…f_{13}$ les fréquences séparées par un demi-ton, on obtient $\frac{f_{13}}{f_1}=2$ par définition de l’octave.

3.1. Vérifier que pour deux fréquences successives $f_i$ et $f_{i+1}$ séparées par un demi-ton le rapport constant des deux fréquences $\frac{f_i+1}{f_i}$ est égal à $2^{\frac{1}{12}}$ .

3.2. Un chef d’orchestre dispose de capacités auditives développées qui lui permettent de distinguer et reconnaître précisément et en particulier la note $la_3$ et la note $si_3$ située deux demi-tons au-dessus. Calculer la fréquence de la note $si_3$ sachant que celle du $la_3$ est égale à 440 Hz.