Sujet bac S - Annale physique-chimie 2014 - Spécialité

Dans cet exercice, on se propose d’étudier des modèles théoriques de la physique contemporaine qui ont été utilisés au LHC.

Données :

• Masse d’un proton $m_p = 1,672 621 \times 10^{-27}\ \text{kg}$ ;
• Célérité de la lumière dans le vide $c = 299 792 458\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}$ ;
• $1\ \text{eV}=1,60×10^{-19}\ \text{J}$ ;
• $1\ \text{TeV}=10^3\text{GeV}=10^{12}\text{eV}$ ;
• Énergie de masse au repos d’une particule de masse m : $E_m = m . c^2$ ;
• Masse d’une rame de TGV : $m_{TGV} = 444\ \text{tonnes}$ ;
• Facteur de Lorentz $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ avec v vitesse de la particule dans le référentiel du laboratoire ;
• La durée de vie $\Delta T$ d’une particule animée d’une vitesse v, mesurée dans le référentiel du laboratoire, est liée à sa durée de vie propre $\Delta T_0 : \Delta T = \gamma.\Delta T_0$.

1. À propos du boson de Higgs

1.1. En quoi l’observation du boson de Higgs permet-elle de compléter la théorie du modèle standard ? 1.2. À quelle période de l’Univers l’observation du boson de Higgs nous ramène-t-elle ?

2. Apport de la relativité restreinte

Dans le cadre de la mécanique dite relativiste, l’énergie cinétique d’un proton vaut : $E_c=(\gamma -1)m_p.c^2$

2.1. Si la vitesse v d’un proton tend vers la célérité de la lumière, vers quelle limite tend son énergie cinétique ?
2.2. Vérifier que l’énergie cinétique Ec d’un proton a été multipliée dans les proportions indiquées dans le Guide du LHC.
2.3. L’énergie totale d’un proton Etotale est égale à la somme de son énergie cinétique et de son énergie de masse au repos. Donner l’expression de l’énergie totale d’un proton. Vérifier numériquement que l’énergie totale d’un proton du LHC est pratiquement égale à son énergie cinétique.

3. Une manipulation à haute énergie

On peut assimiler l’énergie de collision entre deux protons, $E_{collision}$, à la somme des énergies cinétiques des deux protons lancés à pleine vitesse en sens inverse. On doit obtenir au LHC une énergie de collision de 14,0 TeV, considérée comme phénoménale.

3.1. Vérifier que l’énergie de collision entre deux protons lancés à pleine énergie en sens opposés vaut $E_{collision} = 14,0\ \text{TeV}$.
3.2. Chaque proton, lancé à vitesse maximale, possède une énergie totale de 7,00 TeV. Comparer l’énergie de l’ensemble des protons circulant simultanément dans le LHC avec l’énergie cinétique d’une rame de TGV lancée à pleine vitesse.
Le candidat sera amené à proposer un ordre de grandeur de la vitesse d’un TGV. Commenter le résultat obtenu.

4. Quelle durée de vie au LHC ?

Une des particules émises lors des collisions entre les protons est le méson B. Sa durée de vie propre est $\Delta T_0=1,5\times 10^{-12}\ \text{s}$.Un détecteur, le VELO (VErtex LOcator), repère les mésons B produits.

4.1. Dans quel référentiel la durée de vie propre du méson B est-elle définie ?

4.2. On se place dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Le détecteur VELO mesure une distance moyenne de parcours du méson B : d = 1,0 cm avant sa disparition.
On fait l’hypothèse que le méson B se déplace à une vitesse pratiquement égale à c. Calculer la valeur de la durée de vie $\Delta T$ du méson B mesurée dans le référentiel du laboratoire. Montrer alors que l’hypothèse faite est justifiée.

Les esters ont souvent une odeur agréable. On les trouve naturellement dans les fruits dont ils sont souvent responsables de l’arôme. La parfumerie et l’industrie alimentaire utilisent aussi les esters et les obtiennent par extraction ou par synthèse.

De tous temps, certains « nez » éduqués ont été capables de distinguer des odeurs très voisines et d’identifier ainsi des esters. De nos jours, les espèces organiques peuvent être identifiées par des méthodes spectroscopiques (infrarouge, résonance magnétique nucléaire, etc.).

Il est relativement aisé de passer d’un produit ayant une odeur âcre, comme l’acide formique, à l’odeur fruitée d’un ester. C’est ce qu’illustre le protocole décrit ci-après de la synthèse du méthanoate de butyle à partir de l’acide formique.

L’équation de la réaction de synthèse est :

On se propose d’étudier les caractéristiques de la synthèse du méthanoate de butyle à partir de l’acide formique puis d’identifier des esters.

Le candidat utilisera ses connaissances ainsi que les informations fournies.

1. Réaction de synthèse du méthanoate de butyle et son mécanisme

2. Optimisation du protocole de synthèse

3. Identification d’esters

La distinction des esters par l’odeur peut être incertaine, en particulier dans le cas du méthanoate d’éthyle et de l’éthanoate de méthyle.

La formule semi-développée du méthanoate d’éthyle est :

Données :

• masse molaire moléculaire et densité :

• masse volumique de l’eau : $\rho _{eau} = 1,0\ \text{g} \cdot \text{mL}^{-1}$;
• numéros atomiques Z(C) = 6 ; Z(O) = 8.

Chaque année, au mois de juillet, se déroule le festival international du cor des Alpes à Haute Nendaz, en Suisse. Cet instrument folklorique était jadis utilisé par les bergers pour communiquer entre eux.

Un berger, situé au sommet d’une colline (point A sur la carte) joue la note la plus grave de son cor des Alpes. Son instrument a une longueur de 3,4 m.
Pourra-t-on l’entendre à Haute Nendaz si le niveau d’intensité sonore est de 100 dB à un mètre de l’instrument ?

Hypothèses de travail :

• L’amortissement de l’onde n’est pas pris en compte : la dissipation d’énergie au cours de la propagation est négligeable.
• Le rayonnement de la source est supposé isotrope.

L’analyse des données ainsi que la démarche suivie seront évaluées et nécessitent d’être correctement présentées. Les calculs numériques seront menés à leur terme avec rigueur. Il est aussi nécessaire d’apporter un regard critique sur le résultat et de discuter de la validité des hypothèses formulées.

Donnée :

• Intensité acoustique de référence : $I_0 = 1,0\times 10^{-12} \text{W} \cdot \text{m}^{-2}$

Document 1. Valeurs de la célérité du son dans l’air en fonction de la température