Sujet 2 - enseignement scientifique

Exercice 1 : Des instruments, des notes et des gammes (10 points sur 20)

Les instruments de musique produisent des sons auxquels l’oreille humaine associe certaines caractéristiques : hauteur, timbre et intensité. La répartition des notes dans une gamme a été retenue pour qu’elles sonnent de manière harmonieuse les unes par rapport aux autres. La recherche de cette harmonie a conduit à différents types de gammes, des gammes dites de Pythagore aux gammes tempérées.

Le sujet est composé de deux parties largement indépendantes

PARTIE 1 : Des instruments et des notes

Les cordes d’un piano vibrent lorsqu’elles sont frappées par de petits marteaux actionnés par les touches du clavier. Les sons produits par le piano résultent de ces vibrations.

Calculer la fréquence associée au $la4$ située une octave au-dessus du $la3$.

On s’intéresse aux sons produits par ce piano. Un système d’acquisition informatisé permet l’enregistrement et la visualisation des signaux associés à ces sons.

• Justifier que les figures 1 et 2 correspondent à deux notes différentes.
• Identifier les notes correspondantes aux figures 1 et 2.

PARTIE 2 : Des notes et des gammes

La théorie musicale étant fondée sur des rapports de fréquences, on décide de simplifier les calculs en attribuant la valeur $1$ (sans unité) à une fréquence choisie comme référence. Celle-ci correspond à une note de référence (par exemple $262\,\text{Hz}$ pour le $do3$). On retrouve ensuite les fréquences réelles en multipliant les valeurs calculées par la fréquence de la note de référence.
La construction des gammes dites de Pythagore est basée sur le cycle des quintes : on part de la fréquence de valeur $f_0=1$. On construit une nouvelle fréquence, la quinte, en multipliant $f_0$ par $\dfrac{3}{2}$. On réitère ce processus pour obtenir la quinte de la quinte, et ainsi de suite. À certaines étapes, le fait de multiplier par $\dfrac{3}{2}$ une fréquence $f$ comprise entre $1$ et $2$ peut donner une fréquence supérieure ou égale à $2$. On se propose de démontrer que, si on divise par $2$ la valeur obtenue, on la ramène dans l’octave.

On suppose que $1\leq f<2$ et on raisonne par disjonction de cas :

• premier cas : $1\leq f<\dfrac{4}{3}$. Montrer que $1\leq\dfrac{3}{2}\times f<2$
• deuxième cas : $\dfrac{4}{3}\leq f<2$. Montrer que $2\leq\dfrac{3}{2}\times f$ et $1\leq\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}f<2$

L’algorithme suivant permet de calculer les fréquences des notes successivement obtenues par ce processus jusqu’à ce qu’on retombe sur la fréquence initiale.

Recopier et compléter le tableau ci-dessous en donnant les valeurs des 12 premières quintes obtenues par cet algorithme. Les résultats seront donnés d’abord sous forme exacte comme quotients d’une puissance de $2$ par une puissance de $3$, puis par leurs valeurs décimales approchées au centième obtenues à l’aide de la calculatrice.

L’algorithme termine-t-il pour une valeur de $n$ inférieure ou égale à $12$ ?

Chacune des fréquences calculées est obtenue à partir de $1$ par multiplications successives par $\dfrac{3}{2}$ et parfois par $\dfrac{1}{2}$. Elles peuvent donc toutes s’écrire sous la forme $\dfrac{3^m}{2^n}$ où $m$ et $n$ sont des entiers naturels non nuls.

• Démontrer que l’égalité $\dfrac{3^m}{2^n}=1$ est impossible.
• Que peut-on en déduire pour l’algorithme proposé ci-dessus ?

D’après ce qui précède, le cycle des quintes ne « reboucle » jamais exactement sur la note de départ. En s’appuyant sur le tableau de la question 4, justifier le choix de 12 notes dans une gamme construite selon ce principe.

Si on choisit comme fréquence de référence celle du $do3$, les fréquences réelles des autres notes sont obtenues en multipliant par $262$ les fréquences calculées dans le tableau de la question 4. En les rangeant dans l’ordre croissant et en arrondissant à l’unité, on obtient les fréquences des notes de la gamme de Pythagore à 12 notes :

• Comparer ces fréquences à celles inscrites sur les touches du piano de la partie 1.
• Calculer au centième près les rapports entre la fréquence du $do\sharp$ et celle du $do$ puis entre la fréquence du $ré$ et celle du $do\sharp$ dans cette gamme. Que constate-t-on ?

• Calculer au centième près les rapports entre la fréquence du $do\sharp$ et celle du $do$, puis entre la fréquence du $ré$ et celle du $do\sharp$ dans la gamme figurant sur le piano représenté dans la partie 1. Que constate-t-on ?
• Comment nomme-t-on la gamme figurant sur le piano ? En quoi diffère-t-elle de la gamme de Pythagore à 12 notes ?

La gamme utilisée est la gamme tempérée. Dans la gamme tempérée, l’intervalle séparant deux notes successives, appelé demi-ton, est toujours le même et vaut $2^{\frac{1}{12}}$, soit environ $1,06$.

Exercice 2 : Différentes méthodes de datation au service de la géologie (10 points su 20)

La datation est une belle illustration de la coopération entre plusieurs champs disciplinaires : la paléontologie, la biologie, les sciences physiques notamment à travers les connaissances sur la désintégration radioactive et l’archéologie qui utilise ces savoirs scientifiques et ces techniques pour étudier le mode de vie passé des êtres humains préhistoriques.

PARTIE 1 : L’histoire de la détermination de l’âge de la Terre

En plus des méthodes présentées dans le texte du document 1, citez, à partir de vos connaissances, un autre argument géologique ou biologique qui permette d’invalider l’estimation de l’âge de la Terre proposée par Buffon.

Selon Buffon, la Terre devrait cesser d’être habitable après un certain temps. À partir du document 1, expliquer ce qui, dans ses hypothèses, a pu l’amener à cette conclusion.

Actuellement, la datation par désintégration radioactive de différents noyaux est une méthode courante. Elle a notamment permis d’estimer l’âge des peintures réalisées par les êtres humains préhistoriques.

PARTIE 2 : La datation des peintures rupestres de la grotte Chauvet par le carbone 14 ($^{14}\text C$)

Découverte en Ardèche, en 1994, la grotte Chauvet est célèbre pour ses peintures rupestres réalisées par des êtres humains préhistoriques. Ces peintures comptent parmi les plus anciennes connues. Leur âge a été estimé par la méthode de datation au carbone 14.

L’isotope $^{14}\text C$ de l’élément carbone se désintègre en azote $^{14}\text N$ et se régénère régulièrement en haute atmosphère à partir de l’azote de l’air : il se retrouve donc en proportion constante dans tous les milieux et tous les êtres vivants. Lorsqu’un être vivant meurt, son métabolisme s’interrompt et son carbone n’est plus renouvelé. En raison de la désintégration radioactive, pour un échantillon donné, le rapport $\text{P}/\text{P}0$ du nombre d’atomes $^{14}\text C$ résiduel ($\text{P}$) sur le nombre d’atomes présents moment de la mort ($\text{P}0$) décroît au cours du temps.

À partir de vos connaissances et des informations apportées par les documents 2 et 3, répondre aux questions suivantes.

Justifier que les oxydes minéraux ne peuvent pas être datés par la méthode du carbone 14, alors que la datation est possible pour le charbon de bois.

Nommer le mécanisme biologique à l’origine de la synthèse du glucose par les plantes terrestres et donner l’équation de réaction de cette synthèse de matière végétale (on veillera à ajuster les nombres stœchiométriques de l’équation). Préciser les organes impliqués dans les échanges entre la plante et son milieu.

Cocher la proposition exacte pour chaque question du questionnaire à choix multiple donné dans l’annexe À RENDRE AVEC LA COPIE.

Deux ensembles de mesures ont été réalisés pour la grotte Chauvet :

• le premier, réalisé sur des fragments de charbon de bois prélevés sur les peintures, fournit des valeurs $\text{P}/\text{P}0$ comprises entre $1,5\,\%$ et $2,5\,\%$ ;
• le second ensemble de mesures, réalisé à partir des prélèvements sur les mouchages de torche, fournit des valeurs comprises entre $3,5\,\%$ et $4,5\,\%$.

Un graphique représentant le rapport $\text{P}/\text{P}0$ du nombre d’atomes $^{14}\text C$ résiduel sur le nombre d’atomes $^{14}\text C$ présent au moment de la mort en fonction du nombre d’années écoulées depuis la mort est donné sur la figure 1 de l’annexe À RENDRE AVEC LA COPIE.

En exploitant le graphique de la figure 1 (et le zoom inséré) de l’annexe À RENDRE AVEC LA COPIE, estimer, après l’avoir définie, la demi-vie du carbone 14.

Estimer par un encadrement l’ancienneté des traces de l’habitation de la grotte Chauvet par les êtres humains préhistoriques en datant les mouchages de torche et les traits réalisés à l’aide de charbons de bois.

Annexe à rendre avec la copie

Questionnaire à choix multiple

Cocher la proposition exacte pour chacune des deux affirmations QCM1 et QCM2 ci-dessous.

La date de désintégration d’un noyau individuel de $^{14}\text C$ dont on connaît la date de création (prise comme origine) est :

La durée nécessaire à la désintégration radioactive de la moitié des noyaux radioactifs d’un échantillon dépend :