Sujet 3 - enseignement scientifique

Exercice 1 : Des instruments, des notes et des gammes (10 points sur 20)

Les instruments de musique produisent des sons auxquels l’oreille humaine associe certaines caractéristiques : hauteur, timbre et intensité. La répartition des notes dans une gamme a été retenue pour qu’elles sonnent de manière harmonieuse les unes par rapport aux autres. La recherche de cette harmonie a conduit à différents types de gammes, des gammes dites de Pythagore aux gammes tempérées.

Le sujet est composé de deux parties largement indépendantes

PARTIE 1 : Des instruments et des notes

Les cordes d’un piano vibrent lorsqu’elles sont frappées par de petits marteaux actionnés par les touches du clavier. Les sons produits par le piano résultent de ces vibrations.

Calculer la fréquence associée au $la4$ située une octave au-dessus du $la3$.

On s’intéresse aux sons produits par ce piano. Un système d’acquisition informatisé permet l’enregistrement et la visualisation des signaux associés à ces sons.

• Justifier que les figures 1 et 2 correspondent à deux notes différentes.
• Identifier les notes correspondantes aux figures 1 et 2.

L’analyse spectrale permet, après une acquisition informatisée et un traitement numérique, de révéler la « signature acoustique » d’un son en faisant apparaître l’amplitude de ses différentes composantes en fréquence.

• Ces deux sons ont-ils la même hauteur ? L’oreille humaine peut-elle les différencier ?
• Le spectre a correspond à l’un des sons produit par un piano étudiés dans la question 2. Associer ce spectre à l’un des deux signaux du document 2.

PARTIE 2 : Des notes et des gammes

La théorie musicale étant fondée sur des rapports de fréquences, on décide de simplifier les calculs en attribuant la valeur $1$ (sans unité) à une fréquence choisie comme référence. Celle-ci correspond à une note de référence (par exemple $262\,\text{Hz}$ pour le $do3$). On retrouve ensuite les fréquences réelles en multipliant les valeurs calculées par la fréquence de la note de référence.
La construction des gammes dites de Pythagore est basée sur le cycle des quintes : on part de la fréquence de valeur $f_0=1$. On construit une nouvelle fréquence, la quinte, en multipliant $f_0$ par $\dfrac{3}{2}$. On réitère ce processus pour obtenir la quinte de la quinte, et ainsi de suite. À certaines étapes, le fait de multiplier par $\dfrac{3}{2}$ une fréquence $f$ comprise entre $1$ et $2$ peut donner une fréquence supérieure ou égale à $2$. On se propose de démontrer que, si on divise par $2$ la valeur obtenue, on la ramène dans l’octave.

On suppose que $1\leq f<2$ et on raisonne par disjonction de cas :

• premier cas : $1\leq f<\dfrac{4}{3}$. Montrer que $1\leq\dfrac{3}{2}\times f<2$
• deuxième cas : $\dfrac{4}{3}\leq f<2$. Montrer que $2\leq\dfrac{3}{2}\times f$ et $1\leq\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}f<2$

L’algorithme suivant permet de calculer les fréquences des notes successivement obtenues par ce processus jusqu’à ce qu’on retombe sur la fréquence initiale.

Recopier et compléter le tableau ci-dessous en donnant les valeurs des 12 premières quintes obtenues par cet algorithme. Les résultats seront donnés d’abord sous forme exacte comme quotients d’une puissance de $2$ par une puissance de $3$, puis par leurs valeurs décimales approchées au centième obtenues à l’aide de la calculatrice.

L’algorithme termine-t-il pour une valeur de $n$ inférieure ou égale à $12$ ?

Chacune des fréquences calculées est obtenue à partir de $1$ par multiplications successives par $\dfrac{3}{2}$ et parfois par $\dfrac{1}{2}$. Elles peuvent donc toutes s’écrire sous la forme $\dfrac{3^m}{2^n}$ où $m$ et $n$ sont des entiers naturels non nuls.

• Démontrer que l’égalité $\dfrac{3^m}{2^n}=1$ est impossible.
• Que peut-on en déduire pour l’algorithme proposé ci-dessus ?

D’après ce qui précède, le cycle des quintes ne « reboucle » jamais exactement sur la note de départ. En s’appuyant sur le tableau de la question 4, justifier le choix de 12 notes dans une gamme construite selon ce principe.

Exercice 2 : La sphéricité de la Terre (10 points sur 20)

Les Grecs de l’Antiquité attribuaient déjà à la Terre une forme sphérique et Ératosthène (276-194 av. J.-C.) fut le premier à en calculer la circonférence. Dans tout ce qui suit, la Terre est assimilée à une sphère de rayon $6\,371\text{km}$.

Le sujet est composé de deux parties largement indépendantes

PARTIE 1 : Repérage sur la sphère terrestre

Afin de se repérer à la surface de la sphère terrestre, on utilise des coordonnées géographiques (longitude, latitude).

Calculer la longueur d’un méridien terrestre.

À partir des informations du tableau ci-dessus :

• Indiquer les villes qui sont situées sur un même méridien.
• Indiquer les villes qui sont situées sur un même parallèle.

On note $\text{O}$ le centre de la Terre et $\text{T}$, $\text{Q}$ et $\text{T}^\prime$ les villes Toronto, Quito et Toulouse. On note $\text{I}$ le centre du parallèle passant par Toronto et Toulouse. Sur le schéma ci-dessous (figure 1a) représentant la sphère terrestre, on a placé les points $\text{O}$, $\text{I}$, $\text{Q}$, $\text{T}$ et $\text{T}^\prime$.

• Donner la mesure, en degré, des angles $\widehat{QOT}$ et $\widehat{TIT^{\prime}}$.
• Calculer la longueur de la portion de méridien reliant Quito à Toronto.

À l’aide de la figure 1b :

• Préciser la longueur $\text{OT}$ puis calculer la longueur $\text{IT}$.
• En déduire la longueur du parallèle passant par Toulouse et Toronto.
• Justifier, par un calcul, que la longueur de la portion de parallèle reliant Toulouse à Toronto est environ égale à $6\,399\,\text{km}$.

Un système d’information géographique (SIG) donne les informations suivantes :

• distance Quito – Toronto : $4\,891\,\text{km}$ ;
• distance Toulouse – Toronto : $6\,230\,\text{km}$ ;
• pour un système d’information géographique, la distance entre deux points du globe est le plus court chemin qui les relie à la surface de la Terre.

Expliquer pourquoi les longueurs données par le SIG et celles calculées dans les questions 3 et 4 sont, dans un cas, très proches alors que, dans l’autre, elles ne le sont pas.

PARTIE 2 : Les différents climats de la Terre

Sur cette carte, on constate que Quito et Libreville, qui sont à la même latitude, sont dans une zone chaude intertropicale. Pour Toronto, situé à la même longitude que Quito, la température moyenne annuelle est plus froide.

Afin d’expliquer ces différences climatiques, un élève a proposé comme hypothèse :
« Il fait plus chaud à l’équateur qu’aux pôles parce que la Terre est plus proche du Soleil à l’équateur qu’aux pôles ».

À partir des connaissances acquises et des informations issues des documents 3 et 4, rédiger un paragraphe argumenté permettant à la fois d’expliquer qu’il fait plus chaud à l’équateur qu’aux pôles et d’invalider l’hypothèse émise par cet élève.
La justification des arguments pourra s’appuyer sur des schémas explicatifs.