Sujet bac ES - Annale mathématiques 2013 - spécialité

Une usine de somposants électriques dispose de deux unités de production $A$ et $B.$
La production journalière de l’unité $A$ est de 600 pièces, celle de l’unité $B$ est de 900 pièces.

On prélève au hasard un composant de la production d’une journée.

La probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité $A$ est égale à 0,014. La probabilité qu’un composant présente un défaut de soudure sachant qu’il est produit par l’unité $B$ est égale à 0,024. On note :

• $D$ l'évènement  : «  Le composant présente un défaut de soudure. »
• $A$ l'évènement  : «  Le composant est produit par l’unité $A$. »
• $B$ l'évènement  : «  Le composant est produit par l’unité $B$. »

On note $p(D)$ la probabilité de l'évènement $D$ et $p_A(D)$ la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.

1)

2) Recopier et compléder l'arbre de probabilités ci-dessous.

3)

On suppose que les composants doivent présenter une résistance globale comprise entre 195 et 205 ohms. On admet que la variable aléatoire $R$ qui , à un composant prélevé au hasard dans la production, associe sa résistance, suit une loi normale $\mu=200,5$ et d’écart-type=3,5.
On prélève un composant dans la production.

Les résultats seront arrondis à 0,00001 près, ils pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice ou de la table fournie en annexe 1.

1) Calculer la probabilité $p_1$ de l'évènement : «  la résistance du composant est supérieure à 211 ohms. »

2) Calculer la probabilité $p_2$ de l'évènement : «  la résistance du composant est comprise dans l’intervalle de tolérance indiqué dans l'énoncé. »

3) On prélève au hasard dans la production tros composants. On suppose que les prélèvements sont indépendants l’un d el'autre et que la probabilité qu’un composant soit accepté est égale à $0,84.$
Déterminer la probabilité $p$ qu’exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés.

Pour chacune des questions posées, une proposition est faite. il est demandé de déterminer si cette proposition est vraie ou fausse, en justifiant.

Un étudiant a travaillé durant l'été et dispose d’un capital de 2500 euros.

À partir du premier septembre 2013, il place son capital $c_0=2500$ sur un compte rapportant 0,2 % d’intêrets composés par mois et il loue une chambre qui lui coûte 425 euros par mois.

On note $c_n$ le capital disponible, exprimé en euros, au début de chaque mois. Par exemple le capital disponible au début du mois d’octobre vaudra : $c_1=1,002 c_0-425=2080$ euros.

L'année universitaire s’achève à la fin du mois de juin 2014.

On admet que la suite des capitaux $(c_n)$ est décrite par les relations :

• $(c_0)=2500$
• Pour tout entier naturel $n$, $c_{n+1}=1,002 \times c_n -425$

PROPOSITION : Sans apport supplémentaire l'étudiant sera à découvert à partir du mois de mars 2014.

Sur $I=]0\ ;+\infty[$, on définit la fonction $f$ par $f(x)=2x+1-\text{ln}\ x.$

PROPOSITION : $f$ est une fonction convexe sur $I$.

On définit sur l’intervalle $I=]0\ ;+\infty[$, $F(x)= 2x \text{ln}\ x-2x+5$. On a effectué à l'aide d’un logiciel de calcul formel les séquences suivantes :

PROPOSITION : $F$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=2\text{ln}\ x$.

$X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance $\mu=0$ et d’écart-type $\sigma=0,6$.

PROPOSITION : $P(-0,6\leq X \leq 0,6)\approx 0,68$

Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l’industrie automobile. On suppose que toute production est vendue.

L’entreprise peut fabriquer entre 0 et 3600 poulies par semaine. On note $x$ le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. ($x$ varie donc dans l’intervalle $[0\ ;3,6]$).

Le bénéfice hebdomadaire est noté $B(x)$, il est exprimé en milliers d’euros.

L’objet de cet exercice est d'étudier cette fonction $B$. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l'autre.

On a représenté en annexe 2, la fonction $B$ dans un repère du plan.

Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas.

Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée.

1) Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égale à 13000 euros.

2) Quel est le bénéfice maximum enviasgeable pour l’entreprise ?

Pour quel nombre $N$ de poulies fabriquées et vendues semble t’il être réalisé ?

Le bénéfice hebdomadaire noté $B(x)$, exprimé en milliers d’euros vaut $B(x)=-5+(4-x)e^x$

1)

c) Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur l’intervalle $I$. On indiquera les valeurs de la fonction $B$ aux bornes de l’intervalle.

2)

Un chauffeur-livreur réside en Italie dans la ville d’Aoste. Quatre fois par mois, son employeur l’envoie livrer du matériel informatique dans la ville de Florence.
Il est établi que le trajet en camion coûte; en carburant, 0,51 euros au kilomètre. Le chauffeur dispose d’un budget mensuel de 2200 euros pour son carburant. Ce qu’il réussit à économiser lui permet de toucher une prime P équivalente en fin de mois. Il consulte donc la carte routière ci-dessous pour optimiser ses trajets.
Le graphe ci-dessous indique les distances entre différentes ville d’Italie  : Aoste, Milan, Parme Turin, Gênes, La Spézia, Bologne et Florence. Chaque ville est désignée par son initiale.

Partie A : Étude du trajet

1) Déterminer le trajet le plus court entre Aoste et Florence. (On indiquera les villes parcourues et l’ordre de parcours).

2) Déterminer le budget carburant nécessaire aux quatre voyages aller-retour du mois (le résultat sera arrondi à l’euro près).
En déduire le montant d ela prime P qui lui sera versée en fin de mois, à l’euro près.

Partie B : Traversée de Parme

Durant son trajet, le chauffeur est obligé de traverser Parme et ses très nombreux feux tricolores. Lorsque le feu est orange, le chauffeur se comporte comme lorsqu’il est rouge, il s’arrête.
L’expérience lui a permis d'établir que s’il se présente à un feu, il se produite les évènement suivants :

• Arrivé au feu, celui-ci est au vert (V) : la probabilité que le suivant soit au vert est de 0,85.
• Arrivé au feu, celui-ci est orange ou rouge (R) : la probabilité que le suivant soit vert est de 0,30.

1) Représenter la situation par un graphe probabiliste.

2) Indiquer la matrice de transition M du graphe, en considérant les sommets dans l’ordre (V, R) en ligne comme en colonne.

3) Le premier feu rencontré est vert. La matrice $P_1$ donnant l'état initial est donc (1,0).

a) Déterminer les matrices $P_2=P_1 \times M$ et $P_3= P_2 \times M$. (Le détail des calculs n’est pas demandé).

b) Conclure quant à l aprobabilité $p$ de l'évènement « Le chauffeur doit s'arrêter au troisième feu ».

Annexe 2